[論文レビュー] Weak cluster points of a sequence and coverings by cylinders

Vladimir Kadets|ArXiv.org|Dec 5, 2003

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ヒルバート空間内のベクトル列が0を弱いクラスターポイントとして持つための必要十分条件を確立する。その条件は、各ベクトルのノルムの平方の逆数の級数が発散することである。ボールの複素プラントールムを用いて、このような弱いクラスターポイントが存在するための必要十分条件が ∑aₙ⁻² = ∞ であることを証明し、さらにk ≥ 3の場合にボールの複素プラントールムを高次元のシリンダーに一般化することは失敗することを示している。

ABSTRACT

Let $H$ be a Hilbert space. Using Ball's solution of the "complex plank problem" we prove that the following properties of a sequence $a_n>0$ are equivalent: (1) There is a sequence $x_n \in H$ with $\|x_n\|=a_n$, having 0 as a weak cluster point; (2) $\sum_1^\infty a_n^{-2}=\infty$. Using this result we show that a natural idea of generalization of Ball's "complex plank" result to cylinders with $k$-dimensional base fails already for $k=3$. We discuss also generalizations of "weak cluster points" result to other Banach spaces and relations with cotype.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間内の列が0を弱いクラスターポイントとして持つための必要十分条件を特定すること。
• ボールの複素プラントールム定理が、k次元の底面を持つシリンダーによる被覆に一般化可能かどうかを調査すること、特にk ≥ 3の場合について。
• cotypeと有限表現性に関連して、一般のバナッハ空間への弱いクラスターポイントの特徴づけを拡張すること。
• 重み付き収束および行列重み付き極限が弱位相における役割を果たす仕組みと、その列の挙動への影響を調査すること。

提案手法

• ボールの複素プラントールム定理を用いる。この定理は、複素ヒルバート空間において、幅 wₙ のプラントが直径 w の球を被覆するならば、∑wₙ² ≥ w² が成り立つというものである。
• 正規直交基底 {eₙ} を用いて、∥xₙ∥ = aₙ となる列 xₙ = aₙeₙ を構成し、弱いクラスターポイントの挙動を分析する。
• ∑ₘ pₙ,ₘ = 1 かつ limₙ→∞ pₙ,ₘ = 0 を満たす重み行列 P = {pₙ,ₘ} を導入し、P収束およびw(P,p)-収束を定義する。
• w(P,p)-収束の概念を応用し、∑aₙ⁻² = ∞ ならば、|f(xₙ)|ᵖ の重み付き平均化によって0が弱いクラスターポイントであることを示す。
• 背理法を用いる：∑aₙ⁻² < ∞ ならば、プラント Pₙ = {h : |⟨h,xₙ⟩| ≤ ½} は任意の半径 R > 0 の球を被覆できないため、0は弱いクラスターポイントでない。
• ℓ₂ および ℓₚ の有限表現性を用いて、一般のバナッハ空間への結果を拡張し、モーリー＝ピジエおよびドヴォレツキーの定理を応用してcotypeと弱いクラスターポイントの関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 aₙ > 0 であるノルムに対して、∥xₙ∥ = aₙ を満たすヒルバート空間 H 内の列 {xₙ} が0を弱いクラスターポイントとして持つための条件は何か？
• RQ2 k ≥ 3 の場合に、ヒルバート空間内でのk次元の底面を持つシリンダーによる被覆について、ボールの複素プラントールム定理を一般化できるか？
• RQ3 バナッハ空間のcotypeが、所与のノルムを持つ列の弱いクラスターポイントの存在に与える影響は何か？
• RQ4 重み付き収束（w(P,p)-収束）とバナッハ空間における弱いクラスターポイントの関係は何か？
• RQ5 列 (aₙ) にどのような条件を課すと、一般のバナッハ空間 X 内で ∥xₙ∥ = aₙ を満たし、0を弱いクラスターポイントとして持つ列 {xₙ} が存在するか？

主な発見

• 級数 ∑aₙ⁻² = ∞ は、ヒルバート空間 H 内の列 {xₙ} が ∥xₙ∥ = aₙ を満たし、0 を弱いクラスターポイントとして持つための必要十分条件である。
• 3次元シリンダーへのボールの複素プラントールム定理の一般化の失敗は、条件 ∑aₙ⁻² = ∞ と等価な反例を構成することで示された。
• 任意の無限次元バナッハ空間 X に対して、∑aₙ⁻² = ∞ ならば、∥xₙ∥ = aₙ を満たし、0 を弱いクラスターポイントとして持つ列 {xₙ} が存在する。
• M-コータイプ p ∈ [2, ∞] のバナッハ空間では、w(P,p′)-収束が0に成り立つならば、∑∥xₙ∥⁻ᵖ′ = ∞ が成り立つ。ここで p′ は p の共役指数である。
• ℓ∞ が有限表現可能であるバナッハ空間（例：c₀）では、弱いクラスターポイントの条件は ∑aₙ⁻¹ = ∞ に簡略化され、これは w(P,1)-収束に対応する。
• 結果は鋭い：∑aₙ⁻² < ∞ ならば、すべての n に対して |f(xₙ)| > ½ を満たす汎関数 f ∈ H* が存在し、0が弱いクラスターポイントでなくなる。