[論文レビュー] Weak Coloring Numbers of Intersection Graphs

Dvo\v{r}\'ak, Zden\v{e}k, Jakub Pekárek+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2021

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、R^d における幾何的対象（球、超立方体、同方向の軸に平行なボックスなど）の交差グラフについて、k番目の弱彩色数のタイトな上界と下界を確立する。強彩色数がkに関して多項式的に増加するのに対し、弱彩色数は指数関数的に増加しうることを示し、特に高次元において、特定の幾何的グラフクラスにおいて、2つの概念の複雑さに根本的な差があることを明らかにする。

ABSTRACT

Weak and strong coloring numbers are generalizations of the degeneracy of a graph, where for each natural number $k$, we seek a vertex ordering such every vertex can (weakly respectively strongly) reach in $k$ steps only few vertices with lower index in the ordering. Both notions capture the sparsity of a graph or a graph class, and have interesting applications in the structural and algorithmic graph theory. Recently, the first author together with McCarty and Norin observed a natural volume-based upper bound for the strong coloring numbers of intersection graphs of well-behaved objects in $\mathbb{R}^d$, such as homothets of a centrally symmetric compact convex object, or comparable axis-aligned boxes. In this paper, we prove upper and lower bounds for the $k$-th weak coloring numbers of these classes of intersection graphs. As a consequence, we describe a natural graph class whose strong coloring numbers are polynomial in $k$, but the weak coloring numbers are exponential. We also observe a surprising difference in terms of the dependence of the weak coloring numbers on the dimension between touching graphs of balls (single-exponential) and hypercubes (double-exponential).

研究の動機と目的

• R^d における幾何的対象の交差グラフの弱彩色数の漸近的挙動を理解すること。
• 弱彩色数が強彩色数と比較して指数関数的に増加する要因となる構造的および次元的要因を同定すること。
• 球や超立方体の接触グラフを含む、交差グラフクラスにおける弱彩色数のタイトな上界と下界を確立すること。
• 次元と細かさ（t-薄型）が弱彩色数の成長率に与える影響を明確化すること。
• これらの境界が、有界展開性を持つグラフクラスおよびどこでもどこでも稠密でないグラフクラスに与える影響を調査すること。

提案手法

• 物体の直径に基づくサイズ順頂点順序を用いて、交差グラフにおける弱彩色数と強彩色数を評価する。
• 体積に基づく議論と幾何的スケーリング（例：半径 (m+1)diam(v) の球 Bm(v) など）を用い、k ステップ以内の到達可能性を制御する。
• Lemma 11 を用いて、区間、長方形、正方形のm縮小列といった明示的なグラフ族を構築し、サイズ順序下での頂点数と弱彩色数の関係を確立する。
• スケルトン構成（Lemma 9）とAH変換を用い、区間や長方形グラフを高次元の交差グラフに持ち上げつつ、彩色数の下界を保存する。
• Lemma 14 と Corollary 15 を用いて、彩色数を次元に交換し、交差グラフを高次元における超立方体の接触グラフに変換する。
• 区間グラフが完璧かつ適切に彩色可能であるという事実を用い、クリーク数の上限を導出し、下界構成を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^d におけるt-薄型d次元球の集合の交差グラフについて、k番目の弱彩色数の漸近的成長率はいかほどか？
• RQ2 R^d における超立方体の交差グラフにおいて、弱彩色数と強彩色数がkに関してどのように異なって成長するか？
• RQ3 軸に平行なボックスまたは球の交差グラフにおいて、弱彩色数は次元dにどのように依存するか？
• RQ4 強彩色数が多項式的に増加する場合でも、弱彩色数が指数関数的に増加しうるか？
• RQ5 グラフの彩色数は、高次元における超立方体の接触グラフとしての表現可能性にどのように関係するか？

主な発見

• R^d における同方向の軸に平行な可比較ボックスのt-薄型集合の交差グラフのk番目の弱彩色数は、上界として t(2k+1)^d で抑えられる。
• R^d におけるb-ボールに類似した物体の交差グラフのk番目の弱彩色数は、上界として bt(2k+2)^d で抑えられる。
• R^1 における区間のt-薄型交差グラフにおいて、サイズ順序下でのk番目の弱彩色数は Ω(k^t / t!) のオーダーで増加する。
• R^d における単位球の接触グラフのk番目の弱彩色数は Ω(k^{d/2}) に達するが、強彩色数は O(k^{d-1}) に抑えられる。
• R^d における超立方体の交差グラフのk番目の弱彩色数は、d ≥ 2 において Ω(2^k) のオーダーで増加しうるが、強彩色数は O(k^d) に抑えられる。
• Corollary 15 より、彩色数が 2^c 未満の任意のグラフが、R^d における超立方体の交差グラフとして表現可能であれば、R^{d+c} における超立方体の接触グラフとしても表現可能である。