[論文レビュー] Weak compactness of sublevel sets in complete locally convex spaces

Pedro Pérez-Aros, Lionel Thibaul|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、完備な局所凸空間における凸関数の下位集合に対して弱コンパクト性の基準を確立する。具体的には、$ f - x^* $ が開なメキィトポロジー集合 $ U \neq \emptyset $ 内のすべての $ x^* $ で最小値をとるならば、すべての $ \gamma \in \mathbb{R} $ および $ x^* \in U $ に対して、集合 $ \{x \in X : f(x) - \langle x^*, x \rangle \leq \gamma\} $ は相対的に弱コンパクトであることを示す。この結果は、バナッハ空間を超えてジェイムズ型コンパクト性定理を拡張し、共役解析を通じてepi-pointed関数とinf-コンパクト性を結びつける。

ABSTRACT

In this work we prove that if $X$ is a complete locally convex space and $f:X o \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ is a function such that $f-x^\ast$ attains its minimum for every $x^\ast \in U$, where $U$ is an open set with respect to the Mackey topology in $X^\ast$, then for every $γ\in \mathbb{R}$ and $x^\ast \in U$ the set $\{ x\in X : f(x)- \langle x^\ast , x angle \leq γ\}$ is relatively weakly compact. This result corresponds to an extension of Theorem 2.4 in [J. Saint Raymond, Mediterr. J. Math. 10 (2013), no. 2, 927--940]. Directional James compactness theorems are also derived.

研究の動機と目的

• バナッハ空間におけるジェイムズ型弱コンパクト性（定理1.2）を完備な局所凸空間へ拡張すること。
• 開なメキィトポロジー集合 $ U \subseteq X^* $ における $ f - x^* $ の最小値の存在を用いて、集合 $ \{x \in X : f(x) - \langle x^*, x \rangle \leq \gamma\} $ の弱コンパクト性を特徴づけること。
• epi-pointed関数と、$ U $ が $ X^* $ のメキィトポロジーで開であるとき、$ f - x^* $ がすべての $ x^* \in U $ で最小値をとるという変分的性質との関係を明確にすること。
• 凸解析およびinf-畳み込み技術を用いて、完備な局所凸空間における集合のための方向的ジェイムズコンパクト性定理を導出すること。

提案手法

• ミルノー＝ロッカファラーの部分微分とその逆を用いて、$ f - x^* $ の最小値と $ \partial f^*(x^*) $ の要素を関連付けること。
• メキィトポロジー $ \tau(X^*, X) $ を用いて、$ f - x^* $ が最小値をとると仮定する開集合 $ U \subseteq X^* $ を定義すること。
• inf-畳み込みと共役関数を用いて、下位集合の構造とその弱コンパクト性を分析すること。
• 共役関数 $ f^* $ がメキィトポロジーで $ U $ 上で有限かつ連続であるという事実を活用し、下位集合の弱コンパクト性を導出すること。
• 方向的漸近的錐と双対空間の極集合を用いて、弱コンパクト性を双対空間の幾何的性質で特徴づけること。
• モアスの定理1.2の短い証明を、凸双対性および位相的道具を用いて局所凸空間へ適応した証明技法を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備な局所凸空間 $ X $ 上のproperで下半連続な凸関数 $ f $ に対して、$ U $ が $ X^* $ のメキィトポロジーで開であるとき、すべての $ \gamma \in \mathbb{R} $ および $ x^* \in U $ に対して、集合 $ \{x \in X : f(x) - \langle x^*, x \rangle \leq \gamma\} $ が相対的に弱コンパクトであるための条件は何か？
• RQ2 $ U $ が $ X^* $ のメキィトポロジーで開であるとき、$ f - x^* $ がすべての $ x^* \in U $ で最小値をとるという仮定は、下位集合の弱コンパクト性とどのように関係するか？
• RQ3 epi-pointed関数と、開なメキィトポロジー集合上での $ f - x^* $ の最小値の達成という変分的性質との間の正確な関係は何か？
• RQ4 凸解析を用いて、完備な局所凸空間における集合のための方向的ジェイムズコンパクト性定理を導出できるか？
• RQ5 メキィトポロジーは、下位集合の弱コンパクト性を保証するために果たす役割は何か？また、バナッハ空間の場合への一般化としてどのように機能するか？

主な発見

• すべての $ x^* \in U $ に対して $ f - x^* $ が最小値をとる場合、$ U \subseteq X^* $ がメキィトポロジーで開であるならば、すべての $ \gamma \in \mathbb{R} $ および $ x^* \in U $ に対して、下位集合 $ \{x \in X : f(x) - \langle x^*, x \rangle \leq \gamma\} $ は相対的に弱コンパクトである。
• この結果は、バナッハ空間から完備な局所凸空間へと定理1.2（モアスによるジェイムズの定理の版）を拡張したものであり、ノルムに基づく仮定をメキィトポロジーにおける共役関数の連続性に置き換えることで実現された。
• epi-pointed関数のクラスは、$ f^* $ が $ X^* $ のある開集合 $ U \subseteq X^* $ でメキィトポロジーで連続であるような関数のクラスと一致する。この条件は、すべての $ x^* \in U $ に対して $ f - x^* $ が弱い意味でinf-コンパクトであることに同値である。
• 下位集合 $ \textnormal{lev}_{f - x^*}^{\leq}(\gamma) $ は、$ f $ が下に有界でない場合や $ \textnormal{dom} f^* \neq X^* $ である場合でも、最小値の達成条件が開なメキィトポロジー集合上で成り立つ限り、相対的に弱コンパクトである。
• 非反射的バナッハ空間上のノルム関数の例は、$ \mathcal{E}(B^\circ) \neq \emptyset $ という仮定が本質的であることを示している。なぜなら、$ f - x^* $ が至る所で最小値をとるが、下位集合が弱コンパクトでない場合があるからである。
• 完備な局所凸空間 $ X $ は、任意の有界で円形かつ凸な集合 $ B \subseteq X $ に対して $ \mathcal{E}(B^\circ) \neq \emptyset $ であるときかつそのときに限り、半反射的である。これは、有界集合の弱コンパクト性と、$ f - x^* $ が最小値をとる方向の集合が空でないという条件を結びつける。