[論文レビュー] Weak convergence analysis of the symmetrized Euler scheme for one dimensional SDEs with diffusion coefficient |x|^a, a in [1/2,1)

Mireille Bossy, Awa Diop|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、拡散係数が |x|^α（α ∈ [1/2, 1)）である1次元SDEに対して、非負性を保証し、弱収束次数1を達成する対称化されたオイラースキームを提案する。原点を中心にオイラースキームを対称化することにより、解の非負性が維持され、コルモゴロフPDE解の空間微分に対する上界が得られ、最適収束率を有する厳密な弱誤差解析が可能となる。

ABSTRACT

In this paper, we are interested in the time discrete approximation of Ef(X(T)) when X is the solution of a stochastic differential equation with a diffusion coefficient function of the form |x|^a. We propose a symmetrized version of the Euler scheme, applied to X. The symmetrized version is very easy to simulate on a computer. For smooth functions f, we prove the Feynman Kac representation u(t,x) = E_{t,x} f(X(T)), for u(t,x) solving the associated Kolmogorov PDE and we obtain the upper-bounds on the spatial derivatives of u up to the order four. Then we show that the weak error of our symmetrized scheme is of order one, as for the classical Euler scheme.

研究の動機と目的

• 標準的なオイラースキームが局所リプシッツ性および符号の問題により失敗するため、拡散係数が |x|^α（α ∈ [1/2,1)）であるSDEに対して、数値的に安定かつ非負性を保つ離散化スキームの開発。
• 提案された対称化オイラースキームの弱収束速度を分析し、ゼロにおける特異性にもかかわらず、古典的オイラーと同様に次数1を達成することを証明する。
• フェインマン＝カック表現を用いた誤差解析を可能にするために、関連するコルモゴロフPDE解の空間微分（最大4階まで）に対する上界を確立する。
• α = 1/2および1/2 < α < 1の両ケースに拡張し、それぞれについて別個の収束結果を提供する。
• 近似過程が非負のまま保たれることを保証し、ファイナンス分野のCIR型およびSABR型モデル、乱流モデリングにおける挙動を再現する。

提案手法

• 解過程の非負性を保つために、オイラー増分を原点に関して対称化するスキームを提案する。
• コルモゴロフPDEの解 u(t,x) = E[f(X_T)] を、コルモゴロフPDEに関連する期待値としてフェインマン＝カック公式を用いて表現する。
• ギルサンフ・タイプの測度変換を用いて、uの空間微分（最大4階まで）の階層的確率的表現を導出する。
• 時間変換付き過程を用いて、Q^(1,3/2)、Q^(1,2) などの確率測度の系列を導入し、高階微分を時間変換付き過程の期待値として表現する。
• 時間変換付き過程 X^x(s)（s = 3/2, 2, など）を導入し、元の測度下での期待値として高階微分を表現する。
• 元の測度および変更済み測度下で過程 J^x_t 及びそのモーメントの存在を証明することで、解 u 及びその微分の存在と滑らかさを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼロにおける特異性にもかかわらず、拡散係数が |x|^α（α ∈ [1/2,1)）であるSDEに対して、対称化オイラースキームが弱収束次数1を達成できるか？
• RQ2 コルモゴロフPDE解およびその空間微分を確率的にどのように表現できるか？誤差解析を可能にする。
• RQ3 対称化戦略が、局所リプシッツ性を持つ拡散係数の下で非負性を保ち、数値的安定性を確保する上で果たす影響は何か？
• RQ4 コルモゴロフPDE解の4階空間微分に対する上界を導出できるか？弱収束解析を支援する。
• RQ5 弱誤差の観点から、対称化スキームは古典的オイラーと比較して、収束速度および数値的安定性において優位性を示すか？

主な発見

• 対称化オイラースキームは、拡散係数が |x|^α（α ∈ [1/2,1)）であるSDEに対して、非リプシッツ性があるにもかかわらず、弱収束次数1を達成する。これは古典的オイラーと同等の性能を示す。
• コルモゴロフPDEの解 u(t,x) = E[f(X_T)] はフェインマン＝カック表現を有し、空間微分（最大4階まで）をすべて確率的表現で表すことが可能となる。
• uの4階空間微分に対する上界が確立され、誤差解析における弱誤差の制御に不可欠である。
• 時間変換付き過程およびギルサンフ・タイプの測度を用いることで、高階微分の再帰的確率的表現が可能となり、誤差解析が容易になる。
• 対称化戦略により、近似過程の非負性が成功裏に維持され、金利モデルや乱流のモデリングにおいて極めて重要である。
• 解析は2つのケースに分ける：α = 1/2 および 1/2 < α < 1。それぞれについて別個に収束結果を証明し、パrameter範囲全体にわたる堅牢性を確保する。