[論文レビュー] Weak Convergence (IA). Sequences of Random Vectors

Gane Samb Lô, Modou Ngom+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2016

Probability and Risk Models参考文献 5被引用数 17

ひとこと要約

この独著は、$ \mathbb{R}^k$ 内の確率的ベクトル列の弱収束について、自己完結的かつ厳密な取り扱いを提供し、距離空間における基礎的結果と漸近統計への応用を含む。ポルトマントーの定理、連続写像定理、関数的経験過程といった主要な道具を確立し、分布収束と特性関数の収束の同値性を証明する。特に多変量中心極限定理と極値理論への応用に焦点を当てる。

ABSTRACT

(English) This monograph aims at presenting the core weak convergence theory for sequences of random vectors with values in $\mathbb{R}^k$. In some places, a more general formulation in metric spaces is provided. It lays out the necessary foundation that paves the way to applications in particular subfields of the theory. In particular, the needs of Asymptotic Statistics are addressed. A whole chapter is devoted to weak convergence in $\mathbb{R}$ where specific tools, for example for handling weak convergence of sequences using independent and indentically distributed random variables such that the Renyi's representations by means of standard uniform or exponential random variables, are stated. The function empirical process is presented as a powerful tool for solving a considerable number of asymptotic problems in Statistics. The text is written in a self-contained approach whith the proofs of all used results at the exception of the general Skorohod-Wichura Theorem.

研究の動機と目的

• $ \mathbb{R}^k$ 内の確率的ベクトル列の弱収束について、厳密で自己完結的な基礎を確立すること。
• 特に多変量極限定理と経験過程論において中心的な必要性に対処すること。
• 特性関数、分布関数、およびタイトネスの基準を用いた収束の取り扱いのためのツールを提供すること。
• 関数的経験過程を、統計における漸近的問題を解く統一的ツールとして提示すること。
• 分布収束と特性関数の収束の同値性を証明し、多変量中心極限定理および極値理論への応用を含む。

提案手法

• 弱収束の中心的特徴付けとしてポルトマントーの定理を用い、分布収束を連続集合上での確率の収束と関連付ける。
• 連続写像定理を適用して、弱収束下での確率的ベクトルの関数の収束を導出する。
• 特性関数を収束を証明する主要な道具として用い、リーヴィー連続性定理を活用する。
• 関数的経験過程を、経験過程における弱収束の分析に強力なツールとして導入する。
• スコロホド＝ヴィチャウラの定理（証明なし）を適用して、ほとんど確実に収束する確率的ベクトルのバージョンを構成し、収束の証明を可能にする。
• 特に多項分布および経験分布に対して、弱収束を確立するためにタイトネスおよび相対コンパクト性の基準を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数 $k$ 次元の確率的ベクトル列の弱収束の必要十分条件は何か？
• RQ2 特性関数は弱収束をどのように特徴づけられるか。また、リーヴィー連続性定理はどのような役割を果たすか？
• RQ3 関数的経験過程は、統計モデルにおける漸近的挙動の分析をどのように容易にするか？
• RQ4 多変量デルタ法および多項分布の弱収束は、漸近的推論にどのように寄与するか？
• RQ5 実数値の確率的変数列が極限を持つための条件は何か。また、この条件は有理数区間における上向き交差の有限性およびコーシー列とどのように関係するか？

主な発見

• $ \mathbb{R}^k$ 内の弱収束は、リーヴィー連続性定理によって保証されるように、特性関数の収束と同値である。
• 関数的経験過程は、特に経験分布における弱収束結果を導出する強力なツールであることが示された。
• 連続写像定理により、弱収束が連続変換のもとで保存されることを保証し、確率的ベクトルの関数の収束を可能にする。
• $ \mathbb{R}^k$ 内のタイトネスおよび相対コンパクト性は、弱収束の十分条件であり、多項分布および経験分布への応用がある。
• 背理法と上限・下限の解析を用いて、列の有限極限の存在と、すべての有理数区間における上向き交差の有限性との同値性が確立された。
• 実数直線上のコーシー列は、項の差がゼロに近づくときかつそのときに限り収束し、これは有限極限の存在を意味する。