[論文レビュー] Weak convergence of a fully discrete approximation of a linear stochastic evolution equation with a positive-type memory term

Mihály Kovács, Jacques Printems|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正則型記憶核を有する線形確率ボルテラ方程式に、完全離散化された有限要素法および畳み込み・クワドラチャ（convolution quadrature）スキームを適用した際の弱収束レートを確立する。弱誤差が $ C\ln\left(\frac{T}{h^{2/\rho}+\Delta t}\right)(\Delta t^{\rho\nu}+h^{2\nu}) $ で有界であることを証明し、同一のノイズ正則性のもとで、これは強収束レートのほぼ2倍に相当し、記憶効果を受ける確率的偏微分方程式における望ましい弱収束の性質を確認する。

ABSTRACT

In this paper we are interested in the numerical approximation of the marginal distributions of the Hilbert space valued solution of a stochastic Volterra equation driven by an additive Gaussian noise. This equation can be written in the abstract Itô form as $$ \dd X(t) + \left (\int_0^t b(t-s) A X(s) \, \dd s ight) \, \dd t = \dd W^{_Q}(t), t\in (0,T]; ~ X(0) =X_0\in H, $$ oindent where $W^Q$ is a $Q$-Wiener process on the Hilbert space $H$ and where the time kernel $b$ is the locally integrable potential $t^{ρ-2}$, $ρ\in (1,2)$, or slightly more general. The operator $A$ is unbounded, linear, self-adjoint, and positive on $H$. Our main assumption concerning the noise term is that $A^{(ν- 1/ρ)/2} Q^{1/2}$ is a Hilbert-Schmidt operator on $H$ for some $ν\in [0,1/ρ]$. The numerical approximation is achieved via a standard continuous finite element method in space (parameter $h$) and an implicit Euler scheme and a Laplace convolution quadrature in time (parameter $Δt=T/N$). %Let $X_h^N$ be the discrete solution at time $T$. Eventually let $φ: H ightarrow \R$ is such that $D^2φ$ is bounded on $H$ but not necessarily bounded and suppose in addition that either its first derivative is bounded on $H$ and $X_0 \in L^1(Ω)$ or $φ= \| \cdot \|^2$ and $X_0 \in L^2(Ω)$. We show that for $φ: H ightarrow \R$ twice continuously differentiable test function with bounded second derivative, $$ | \E φ(X^N_h) - \E φ(X(T)) | \leq C \ln \left(\frac{T}{h^{2/ρ} + Δt} ight) (Δt^{ρν} + h^{2ν}), $$ oindent for any $0\leq ν\leq 1/ρ$. This is essentially twice the rate of strong convergence under the same regularity assumption on the noise.

研究の動機と目的

• 正則型記憶項を有する線形確率発展方程式に対する完全離散化数値スキームの弱収束を分析すること。
• 解の2回連続微分可能なテスト関数の期待値に対する収束レートを確立すること。
• 放物型および双曲型確率的偏微分方程式（SPDE）における既知の弱収束結果を、弱特異的記憶核を有する方程式へと拡張すること。
• ノイズ正則性の仮定の下で、空間的（h）および時間的（Δt）離散化パラメータに依存する収束の依存関係を定量すること。
• 非マルコフ型記憶を有する確率的ボルテラ方程式の文脈において、畳み込み・クワドラチャおよび有限要素法の使用を正当化すること。

提案手法

• 空間離散化にメッシュサイズ h を用いた連続有限要素法が用いられる。
• 時間方向には、ラプラス変換に基づく畳み込み・クワドラチャと組み合わせた陰的エイラー法が用いられ、時間刻み幅 Δt である。
• 数値解は、離散ラプラシアン $ A_h $ と直交射影 $ P_h $ を含む半離散系によって定式化される。
• 演算子論的道具を用いて解析が行われ、ヒルベルト空間におけるリゾルベントおよび発展作用素の有界性が用いられる。
• 主な技術的ツールとして、双対表現とトレースクラス推定を用いた誤差の時間的および空間的成分への分解が用いられる。
• 解析は、$ A^{(\nu-1/\rho)/2}Q^{1/2} $ がヒルベルト＝シュミット作用素であるという仮定に依存しており、ノイズ正則性と収束レートの関係が結びつけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則型記憶核を有する確率的ボルテラ方程式に対して、完全離散化された有限要素法および畳み込み・クワドラチャスキームの弱収束レートは何か？
• RQ2 同一のノイズ正則性仮定のもとで、弱収束レートは強収束レートと比べてどのように異なるか？
• RQ3 記憶効果がある状況において、弱誤差は空間メッシュサイズ h および時間刻み幅 Δt にどのように依存するか？
• RQ4 このような記憶効果を受けるSPDEにおいて、弱次数が強次数の2倍であることが示せるか？（放物型および双曲型の場合と同様に。）
• RQ5 異なるノイズ構造（例えば、白色ノイズ、トレースクラスノイズ）は、弱収束レートにどのように影響するか？

主な発見

• 数値解の弱誤差は、$ \nu \in [0,1/\rho] $ に対して、$ |\mathbf{E}\varphi(X_h^N) - \mathbf{E}\varphi(X(T))| \leq C\ln\left(\frac{T}{h^{2/\rho}+\Delta t}\right)(\Delta t^{\rho\nu}+h^{2\nu}) $ を満たす。
• 弱収束レートは、放物型および双曲型SPDEの既知の結果と一致し、強収束レートのほぼ2倍である。
• 白色ノイズ（Q=I）の場合、時間方向の弱収束レートは $ (1 - \rho/2)_- $、空間方向は $ (2/\rho - 1)_- $ となり、記憶が正則性に与える影響が反映される。
• Q がトレースクラスの場合、$ \nu = 1/\rho $ を選ぶと、時間方向の弱収束次数は $ 1_- $、空間方向は $ 2_- $ となり、有限次元SPDEの挙動と一致する。
• より一般的なノイズで $ A^\kappa Q \in \mathcal{B}(H) $ かつ $ \mathrm{Tr}(A^{-\alpha}) < \infty $ が成り立つ場合、空間方向の弱次数は $ (2/\rho - 2(\alpha - \kappa))_- $、時間方向は $ (1 - \rho(\alpha - \kappa))_- $ となり、再び強収束レートの2倍である。
• 対数因子 $ \ln(T/(h^{2/\rho}+\Delta t)) $ は、作用素ノルムの時間積分に起因し、記憶核の弱特異性のため必要不可欠である。