[論文レビュー] Weak convergence of empirical Wasserstein type distances

Philippe Berthet, Jean‐Claude Fort|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2つの連続的分布間の経験的ワサーライン型距離について、分布が等しい場合や尾部が任意に近い場合を含め、弱収束および中心極限定理を確立する。分布の尾部行動とコスト関数 ρ の関係を示す新しい条件を導入し、収束速度と極限分布が ρ の原点および無限大近辺における正則変動に強く依存することを示す。特に F = G の場合に顕著である。

ABSTRACT

We estimate contrasts $\int_0 ^1 ρ(F^{-1}(u)-G^{-1}(u))du$ between two continuous distributions $F$ and $G$ on $\mathbb R$ such that the set $\{F=G\}$ is a finite union of intervals, possibly empty or $\mathbb{R}$. The non-negative convex cost function $ρ$ is not necessarily symmetric and the sample may come from any joint distribution $H$ on $\mathbb{R}^2$ with marginals $F$ and $G$ having light enough tails with respect to $ρ$. The rates of weak convergence and the limiting distributions are derived in a wide class of situations including the classical Wasserstein distances $W_1$ and $W_2$. The new phenomenon we describe in the case $F=G$ involves the behavior of $ρ$ near $0$, which we assume to be regularly varying with index ranging from $1$ to $2$ and to satisfy a key relation with the behavior of $ρ$ near $\infty$ through the common tails. Rates are then also regularly varying with powers ranging from $1/2$ to $1$ also affecting the limiting distribution, in addition to $H$.

研究の動機と目的

• 基礎となる分布 F と G が等しいか、任意に近い尾部を持つ場合に、経験的ワサーライン型距離の弱収束および中心極限定理（CLT）を確立すること。
• コスト関数 ρ の原点および無限大近辺での振る舞いが、収束速度と極限分布に与える影響を分析すること。特に F = G の場合に注目する。
• 非対称で凸なコスト関数を許容し、従属または i.i.d. でない標本に対処できるフレームワークを構築すること。
• F と G の尾部行動とコスト関数 ρ を結びつける明示的かつ検証可能な条件を導出し、暗黙的または確率論的仮定を避けること。
• 従来のワサーライン距離の結果を W₁ および W₂ に拡張し、非対称 ρ を持つ F = G の困難なケースを扱えるようにすること。

提案手法

• 積分領域 (0,1) を、順位プロセスがブラウン運動ブリッジで近似可能となる領域に細かく分割する。
• 適切にスケーリングされたブラウン運動ブリッジによる、√n(𝐹̂ₙ⁻¹(u) − F⁻¹(u)) および √n(𝐺̂ₙ⁻¹(u) − G⁻¹(u)) の順位プロセスの同時近似を、部分区間で行う。
• 密度が 0 に近づく近傍での F ↦ F⁻¹ のハダマード微分可能性の欠如を理由に、関数的δ法を避ける。
• 強近似技術とハンガリアン構成を用いて、u = 0 および u = 1 の近傍における順位プロセスの振る舞いを制御する。
• ρ の 0 および ∞ における正則変動を分析し、共通の尾部特性を通じて、これら2つの振る舞いの間の重要な関係を確立する。
• カップリングおよびモーメントバウンドを用いて、順位プロセスの差分を含む積分の極限挙動を分析することで、経験的対比の弱収束を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F = G の場合、特に非対称コスト関数を持つ場合に、経験的ワサーライン型距離の弱収束速度と極限分布はどのように振る舞うか？
• RQ2 F と G が近いか等しい場合に、経験的対比の弱収束および CLT を保証するための、コスト関数 ρ および F と G の尾部行動に関する条件は何か？
• RQ3 ρ の原点および無限大近辺における正則変動が、F = G の場合の収束速度と極限分布にどのように影響を与えるか？
• RQ4 古典的なワサーライン距離 W₁ および W₂ を、非 i.i.d. または従属標本を扱える統一的枠組みに含めることは可能か？
• RQ5 F = G の場合、標本の連合分布 H が極限分散を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• F = G であり、ρ が 0 で正則変動（指数 [1,2]）であるとき、経験的対比の収束速度は、ρ の 0 近辺の振る舞いに応じて、指数 [1/2,1] の正則変動を示す。
• F = G の場合の極限分布は非ガウス分布であり、標本の連合分布 H および ρ の 0 および ∞ における正則変動パラメータに依存する。
• F = G であり、ρ(x) = x² が 0 近辺で成り立つ場合、極限分布は ∫₀¹ |B(u)| du として表され、B は標準ブラウン運動ブリッジである。
• コスト関数 ρ が非対称であり、0 で指数が 2 より小さい正則変動を示す場合、収束速度は √n より遅くなる。
• CLT における極限分散は、H を通じた標本の連合依存構造に依存し、単に周辺分布の性質に還元することはできない。
• F と G の尾部およびコスト ρ に対して、弱収束を保証する明示的かつ検証可能な条件を提示しており、先行研究で用いられる暗黙的または確率論的仮定を回避している。