[論文レビュー] Weak convergence of fully discrete finite element approximations of semilinear hyperbolic SPDE with additive noise

Mihály Kovács, Annika Lang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、加法的ノイズを伴う非線形確率波動方程式の完全離散有限要素近似について、弱収束速度を確立する。空間離散化に有限要素法を、時間積分に指数関数の有理近似を用い、適切な条件下で弱収束速度が強収束速度の約2倍になることを証明する。テスト関数の多項式的有界な微分を分析するためにミンクスキー微分法を活用する。

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of the mild solution to a semilinear stochastic wave equation driven by additive noise. For the spatial approximation we consider a standard finite element method and for the temporal approximation, a rational approximation of the exponential function. We first show strong convergence of this approximation in both positive and negative order norms. With the help of Malliavin calculus techniques this result is then used to deduce weak convergence rates for the class of twice continuously differentiable test functions with polynomially bounded derivatives. Under appropriate assumptions on the parameters of the equation, the weak rate is found to be essentially twice the strong rate. This extends earlier work by one of the authors to the semilinear setting. Numerical simulations illustrate the theoretical results.

研究の動機と目的

• 加法的ノイズを駆動とする非線形確率波動方程式の完全離散有限要素スキームの弱収束を分析すること。
• 非線形ケースにおける従来の強収束結果を弱収束設定へと拡張すること。
• 非線形項および初期データに正則性と滑らかさの仮定をおくと、弱収束速度が強収束速度のほぼ2倍になることを確立すること。
• 固有関数に基づく手法が実用的でないような複雑な空間領域における確率波動方程式の数値シミュレーションの理論的基盤を提供すること。
• 1次元空間における数値実験を通じて理論的結果を検証すること。

提案手法

• 空間離散化に標準的なガレルキン有限要素法を適用し、区分的線形または2次関数を基底関数として用いる。
• 時間離散化に指数関数の有理近似を用い、クランク・ニコルソン法を確率的半群へ一般化する。
• 弱解表現を用い、解を確率的畳み込みを含む変数定数公式を介して表現する。
• テスト関数の多項式的有界な微分の構造を分析するためにミンクスキー微分法を適用し、弱収束速度を導出する。
• 弱誤差を制御するために負の順位ノルムを用い、双対性によるより緊密なバインドを可能にする。
• 非線形項が最大で線形成長を示し、1階微分がリプシッツ連続であるNemytskij作用素であると仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的ノイズを伴う非線形確率波動方程式の完全離散有限要素近似の弱収束速度は何か？
• RQ2 非線形設定において、弱収束速度は強収束速度とどのように比較されるか？
• RQ3 非マルコフ構造と加法的ノイズを伴うSPDEに対して、ミンクスキー微分法は弱収束速度を効果的に導出できるか？
• RQ4 非線形項および初期データにどのような条件下で弱収束速度が強収束速度の2倍になるか？
• RQ5 理論的収束速度は、実用的状況における数値実験とどのように比較されるか？

主な発見

• 非線形項が十分に滑らかなNemytskij作用素であり、初期データが滑らかである場合、弱収束速度は強収束速度の約2倍である。
• d = 1, 2 においてトレースクラスノイズ、d = 1 において単位行列共分散の下で、強収束速度が O(h^{2/3}) のとき、弱収束速度は O(h^{4/3}) である。
• 理論的結果はd = 1で数値的に検証され、モンテカルロシミュレーションにより弱誤差の収束次数が O(h^{4/3})、強誤差が O(h^{2/3}) と一致する。
• 固有関数に基づく時間積分法が実装が困難な複雑な領域幾何に適応可能である。
• 負の順位ノルムとミンクスキー微分法の併用により、古典的イトの公式やコルモゴロフ方程式の手法に比べ、より緊密な誤差制御が可能である。
• 特に微分が有界かつリプシッツ連続であるNemytskij作用素に対して、従来の研究よりもややより一般的な仮定のもとで解析が成立する。