[論文レビュー] Weak convergence of path-dependent SDEs with irregular coefficients

Jianhai Bao, Jinghai Shao|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、不規則な係数（特に Hölder 継続的または可積分性を満たすドリフト）をもつ経路依存型 SDE に対して、Euler-Maruyama 法および切断付き Euler-Maruyama 法の弱収束を、Girsanov 変換に基づく新規な摂動アプローチを用いて確立する。主な貢献は、最小限の正則性仮定のもとで弱収束を証明することであり、退化型拡散過程や記憶を有する確率的ハミルトニアン系への応用も含む。

ABSTRACT

In this paper we develop via Girsanov's transformation a perturbation argument to investigate weak convergence of Euler-Maruyama (EM) scheme for path-dependent SDEs with Hölder continuous drifts. This approach is available to other scenarios, e.g., truncated EM schemes for non-degenerate SDEs with finite memory or infinite memory. Also, such trick can be applied to study weak convergence of truncated EM scheme for a range of stochastic Hamiltonian systems with irregular coefficients and with memory, which are typical degenerate dynamical systems. Moreover, the weak convergence of path-dependent SDEs under integrability condition is investigated by establishing, via the dimension-free Harnack inequality, exponential integrability of irregular drifts w.r.t. the invariant probability measure constructed explicitly in advance.

研究の動機と目的

• 経路依存型 SDE における不規則な係数をもつ数値スキームの弱収束結果の不足を補う。
• Hölder 継続性および可積分性条件の下で、Euler-Maruyama 法の弱収束を解析するための Girsanov 変換に基づく摂動法を開発する。
• 有限または無限記憶を有する非退化型 SDE および特異ドリフトと記憶を有する確率的ハミルトニアン系に対して、このアプローチを切断付き EM 法に拡張する。
• 可積分性条件の下で、次元に依存しない Harnack 不等式を用いて、不規則なドリフトの指数的可積分性を確立し、最小限の仮定のもとで弱収束を保証する。

提案手法

• Malliavin 微積分やtamed Itô 公式に依存しない摂動議論を構築するため、Girsanov 変換を用いる。
• 次元に依存しない Harnack 不等式を適用し、明示的に構成された不変確率測度に関して、不規則なドリフトの指数的可積分性を導出する。
• Hölder 継続性の下で確率過程の成長推定を用い、解の経路の挙動を制御する。
• 摂動フレームワークを、有限・無限記憶を有する非退化型 SDE および退化型確率的ハミルトニアン系の切断付き EM 法に適応する。
• 関数 $\text{e}^{\gamma|Z(x)|^2} \wedge n$ における Harnack 不等式を用い、モーメントの有界性を導出し、可積分性を保証する。
• 優越収束定理とテイラー展開を組み合わせ、不変測度の密度を推定し、不変測度の台の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スムーズな係数を要件としないで、Hölder 継続的ドリフトをもつ経路依存型 SDE に対して、Euler-Maruyama 法の弱収束を確立できるか？
• RQ2 Girsanov 変換に基づく摂動法は、有限または無限記憶を有する SDE に対する切断付き EM 法に拡張可能か？
• RQ3 特異ドリフトと記憶を有する確率的ハミルトニアン系に対して、このアプローチを用いて弱収束の次数を導出可能か？
• RQ4 ドリフトのどの可積分性条件のもとで、Harnack 不等式を用いて指数的可積分性を確立でき、弱収束を保証できるか？
• RQ5 弱収束解析において、$C_b^\infty$ 係数や滑らかなペイオフ関数といった強い仮定を回避することは可能か？

主な発見

• 適切な時間離散化のもとで、非退化型経路依存型 SDE に対して Hölder 継続的ドリフトをもつ Euler-Maruyama 法の弱収束速度が確立される。
• Girsanov 変換に基づく摂動法は、Malliavin 微積分や tamed Itô 公式に依存せず、より弱い正則性仮定のもとでの解析を可能にする。
• ドリフトに可積分性条件が課された場合、次元に依存しない Harnack 不等式により、不変測度に関して $|Z(Y^x(t))|^2$ の指数的可積分性が保証され、一様なモーメント有界性が得られる。
• この方法は、有限または無限記憶を有する非退化型 SDE に対する切断付き EM 法に拡張可能であり、同一の条件下で弱収束が証明される。
• 特異ドリフトと記憶を有する確率的ハミルトニアン系に対しては、切断付き EM 法が弱収束を示し、Harnack 不等式を用いて明示的な収束次数が導出される。
• 不変測度 $\mu_0$ が明示的に構成され、Harnack 不等式により $\mathbb{E}[\text{e}^{\gamma|Z(Y^x(t))|^2}] \leq C \cdot \text{e}^{L_0/(2(p-1))}$ のような評価が得られ、これが可積分性および収束の証明に不可欠である。