[論文レビュー] Weak convergence of stochastic integrals driven by continuous-time random walks

Meredith N. Burr|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2011

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、スケーリングされた連続時間ランダムウォーク（CTRW）によって駆動されるストキャスティック積分が、その極限過程、具体的にはα安定Lévy運動および時間変換付きブラウン運動によって駆動されるストキャスティック積分へ弱収束することを確立する。カーツとプロッターのストキャスティック積分の弱収束に関する定理を用い、被積分関数の一様タイトネスを仮定することで、ブラウン運動のイト積分への収束に関する予想を検証する。

ABSTRACT

Brownian motion is a well-known model for normal diffusion, but not all physical phenomena behave according to a Brownian motion. Many phenomena exhibit irregular diffusive behavior, called anomalous diffusion. Examples of anomalous diffusion have been observed in physics, hydrology, biology, and finance, among many other fields. Continuous-time random walks (CTRWs), introduced by Montroll and Weiss, serve as models for anomalous diffusion. CTRWs generalize the usual random walk model by allowing random waiting times between successive random jumps. Under certain conditions on the jumps and waiting times, scaled CTRWs can be shown to converge in distribution to a limit process M(t) in the cadlag space D[0,infinity) with the Skorohod J_1 or M_1 topology. An interesting question is whether stochastic integrals driven by the scaled CTRWs X^n(t) converge in distribution to a stochastic integral driven by the CTRW limit process M(t). We prove weak convergence of the stochastic integrals driven by CTRWs for certain classes of CTRWs, when the CTRW limit process is an alpha-stable Levy motion and when the CTRW limit process is a time-changed Brownian motion.

研究の動機と目的

• スケーリングされたCTRWによって駆動されるストキャスティック積分が、その極限過程によって駆動されるものへ弱収束するための条件を確立すること。
• ゲルマンォらが提起した、スケーリングされたCTRWからのストキャスティック積分がブラウン運動のイト積分へ弱収束することに関する予想を検証すること。
• CTRWに基づく確率過程を用いた異常拡散のモデル化の理論的基盤を拡張すること。
• 非マルコフ的で、重い尾を持つ、および時間変換された過程の文脈におけるストキャスティック積分の厳密な弱収束フレームワークを提供すること。

提案手法

• 被積分関数の過程の一様タイトネスを要件とする、カーツとプロッターのストキャスティック積分の弱収束に関する定理を適用する。
• 収束の分布を解析するために、 càdlàg 関数の空間 D[0,∞) 上のスコロホド J1 位相を用いる。
• CTRW過程 X^n(t) が、極限過程 M(t)（α安定Lévy運動または時間変換付きブラウン運動）へ収束することを確立する。
• 連続写像定理および二次変動や指数関数などの操作の J1-連続性を用いて、関連する過程の収束を導出する。
• ドレアン＝ダーデ指数の対数的展開を分析し、CTRW過程のストキャスティック指数の収束を制御する。
• ミアシュポートとシェッフルの枠組みに従い、待ち時間とジャンプが正規化可能で、安定分布の吸引域に属することを前提とするCTRWのスケーリング極限に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n→∞ のとき、ストキャスティック積分 ∫₀ᵗ Hⁿ(s−) dXⁿ(s) が ∫₀ᵗ H(s−) dM(s) へ弱収束する条件は何か？
• RQ2 ゲルマンォらの予想によれば、スケーリングされたCTRWのストキャスティック積分は分布収束してブラウン運動のイト積分へ収束するが、これは正しいか？
• RQ3 CTRWの極限過程がα安定Lévy運動である場合、ストキャスティック積分の弱収束を確立できるか？
• RQ4 極限過程がサブオーダーによって駆動される時間変換付きブラウン運動である場合、弱収束を証明できるか？

主な発見

• 適切なスケーリングおよび一様タイトネスの下で、スケーリングされたCTRWによって駆動されるストキャスティック積分は、α安定Lévy運動の極限過程によって駆動されるストキャスティック積分へ弱収束する。
• ゲルマンォらの予想が検証された：n→∞ のとき、∫₀ᵗ Xⁿ(s−) dXⁿ(s) ⇒ ∫₀ᵗ B(s) dB(s) が分布収束する。
• 時間変換付きブラウン運動の極限過程の場合、時間変換がサブオーダーであり、CTRWのスケーリングが吸引域条件を満たす限り、ストキャスティック積分の弱収束が成立する。
• 収束はCTRW過程 Xⁿ の一様タイトネスに依存しており、これによりカーツとプロッターの弱収束定理の適用が保証される。
• J1-連続性および連続写像定理を用いて、ドレアン＝ダーデ指数 exp{Zⁿ − ½[Zⁿ,Zⁿ]} が exp{B(E) − ½E} へ収束することが確立される。
• 指数関数内の対数補正項は確率的にゼロへ収束し、正規化されたストキャスティック指数が極限過程へ収束することを確認する。