[論文レビュー] Weak convergence of the empirical copula process with respect to weighted metrics

Axel Bücher, Betina Berghaus+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、系列的依存性を持つデータに対して重み付きsupremumノルムの下で、経験コプูลラ過程の弱収束を確立し、順位統計量および依存関数推定の漸近的解析を可能にする。主な貢献は、単位立方体の境界で消える重み関数を用いた収束の証明であり、これによりより強い度合いのノルムと、ピカーンズ依存関数推定やアンダーソン・ダーリング型の適合度検定を含む広範な統計的応用が可能になる。

ABSTRACT

The empirical copula process plays a central role in the asymptotic analysis of many statistical procedures which are based on copulas or ranks. Among other applications, results regarding its weak convergence can be used to develop asymptotic theory for estimators of dependence measures or copula densities, they allow to derive tests for stochastic independence or specific copula structures, or they may serve as a fundamental tool for the analysis of multivariate rank statistics. In the present paper, we establish weak convergence of the empirical copula process (for observations that are allowed to be serially dependent) with respect to weighted supremum distances. The usefulness of our results is illustrated by applications to general bivariate rank statistics and to estimation procedures for the Pickands dependence function arising in multivariate extreme-value theory.

研究の動機と目的

• 重み付きsupremumノルムの下で経験コプールラ過程の弱収束を確立すること。これは、特異性を持つ統計的関数への適性を高めるために、非重み付きの場合よりも強いノルムである。
• 従来の弱収束結果を、観測値に系列的依存性がある場合、特に指数的α-混合条件の下で拡張すること。
• 連続写像定理および関数的デルタ法を、非重み付きノルムでは不連続となる関数へ適用可能にするため、特に1/x型の特異性を含む関数に適用可能にする。
• 順位統計量および依存度の漸近的解析を可能にする。特に多変量極値理論における応用を想定する。
• 重み付き経験コプールラ過程の関数への依存性に基づく、適合度検定および推定手続きの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 著者らは、関数的デルタ法の枠組みを用いて、重み付きsupremumノルムの下での経験コプールラ過程の弱収束を導出する。
• 単位立方体の境界で消える重み関数を定義し、例えば2次元では $\tilde{g}(u,v) = u \wedge v \wedge (1-u) \wedge (1-v)$ のように定義することで、関数への特異性を扱う。
• 強い近似技術と、混合係数および周辺分布関数に関する条件に基づく、依存構造下での経験過程のモーメントバウンドに依存する証明。
• 一般化逆関数の挙動および境界付近での経験コプールラ過程のオシレートを制御する、重要な技術的補題。
• 重み付きノルム下でのtightnessを保証するため、コプールラの滑らかさおよび周辺経験過程の収束速度に関する条件を組み込む。
• α-混合下での集中不等式およびモーメントバウンドを用いて、経験過程の漸近的等連続性および一様バウンドを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位立方体の境界で消える重み付きsupremumノルムの下で、経験コプールラ過程の弱収束を確立できるか？
• RQ2 特に指数的α-混合の下で、系列的依存性の存在が、重み付き度合いの下での経験コプールラ過程の弱収束にどのように影響するか？
• RQ3 関数的デルタ法を用いて、非重み付きノルムでは不連続となる関数、例えば $\int f(u)/u \, du$ のような関数の漸近的分布を導出可能か？
• RQ4 重み付きノルム下での経験コプールラ過程の収束速度は何か？また、重み関数および依存構造にどのように依存するか？
• RQ5 理論的結果を用いて、順位統計量およびピカーンズ依存関数推定量の漸近的分布を導出可能か？

主な発見

• 重み関数が単位立方体の境界で消える重み付きsupremumノルムの下で、経験コプールラ過程は弱収束する。2次元では $\tilde{g}(u,v) = u \wedge v \wedge (1-u) \wedge (1-v)$ のように定義される。
• 指数的α-混合の下でも収束が成立し、従来のi.i.d.結果を系列的データに拡張する。これは時系列応用にとって極めて重要である。
• 重み付き弱収束により、非重み付きノルムでは不連続となる関数へも連続写像定理を適用可能になり、1/x型特異性を含む関数に応用可能である。
• アンダーソン・ダーリング型の統計量のための適合度検定に向けた漸近的分布理論を支援する。
• 関数的デルタ法を用いて、多変量極値理論におけるピカーンズ依存関数推定量の漸近的分布を導出する。
• 重み付きノルム下での収束速度は $O_P(n^{-\omega/2})$ であり、$\omega \in (0, \theta_1 \wedge \theta_2)$ となる。ここで $\theta_1, \theta_2$ は滑らかさおよび混合条件に関連する。