[論文レビュー] Weak Convergence Rates for Spatial Spectral Galerkin Approximations of Semilinear Stochastic Wave Equations with Multiplicative Noise

Ladislas Jacobe de Naurois, Arnulf Jentzen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 58被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、加法的ノイズに限られていた文献におけるギャップを埋めるために、乗法的ノイズを伴う非線形確率波動方程式の空間スペクトルガラーキン近似における基本的に鋭い弱収束速度を確立している。コルモゴロフ方程式、シュレーディンガーノルムにおけるホルダーの不等式、および穏やかな伊藤の公式を組み合わせることで、著者らは弱収束速度が強収束速度の2倍であることを証明した——具体的には、双曲的アンドリソンモデルでは1−εの収束速度を確認し、長年にわたり求められていた理論的基準を裏付けた。

ABSTRACT

Stochastic wave equations appear in several models for evolutionary processes subject to random forces, such as the motion of a strand of DNA in a liquid or heat flow around a ring. Semilinear stochastic wave equations can typically not be solved explicitly, but the literature contains a number of results which show that numerical approximation processes converge with suitable rates of convergence to solutions of such equations. In the case of approximation results for strong convergence rates, semilinear stochastic wave equations with both additive or multiplicative noise have been considered in the literature. In contrast, the existing approximation results for weak convergence rates assume that the diffusion coefficient of the considered semilinear stochastic wave equation is constant, that is, it is assumed that the considered wave equation is driven by additive noise, and no approximation results for multiplicative noise are known. The purpose of this work is to close this gap and to establish sharp weak convergence rates for semilinear stochastic wave equations with multiplicative noise. In particular, our weak convergence result establishes as a special case essentially sharp weak convergence rates for the hyperbolic Anderson model. Our method of proof makes use of the Kolmogorov equation, the H\"older-inequality for Schatten norms, and the mild It\^o formula.

研究の動機と目的

• 加法的ノイズでのみ解析がなされていた、乗法的ノイズを伴う非線形確率波動方程式における弱収束速度を確立することで、文献におけるギャップを埋めること。
• 確率的偏微分方程式における代表的なモデルである双曲的アンドリソンモデルに対して、基本的に鋭い弱収束速度を導出すること。
• 定数でない拡散係数を有する、広範な非線形確率波動方程式のクラスに適用可能な一般枠組みを構築すること。
• 強収束領域を超えて弱収束解析を拡張するために、穏やかな伊藤の公式とシュレーディンガーノルムの推定を活用すること。

提案手法

• 弱誤差を確定的PDEの解に関連付けるために、コルモゴロフ方程式が用いられている。
• 弱誤差推定における2階微分の成長を制御するために、シュレーディンガーノルムにおけるホルダーの不等式が使用されている。
• ガラーキン近似のための事前推定を導出するために、穏やかな伊藤の公式が適用されている。これにより、解のモーメントの制御が可能になった。
• 線形作用素−Aに関連する一連の補間空間が、解およびノイズの正則性を特徴付けるために用いられている。
• 非線形関数FおよびBのリプシッツ連続性と有界な2階微分の条件が、弱収束に必要な十分な滑らかさを保証するために分析に依拠している。
• ノイズ係数が状態に依存する例として、双曲的アンドリソンモデルにこの枠組みを適用し、明示的な収束速度を導出している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルガラーキン近似における乗法的ノイズを伴う非線形確率波動方程式の弱収束速度は、どの程度達成可能か？
• RQ2 双曲的アンドリソンモデルにおける弱収束速度は、本質的に鋭いものと見なせるか？
• RQ3 同じ設定下で、既知の強収束速度と比較して弱収束速度はどのように異なるか？
• RQ4 非定数拡散係数を有する弱収束設定において、処理に必要な解析的ツールは何か？

主な発見

• 本稿は、乗法的ノイズを伴う非線形確率波動方程式のスペクトルガラーキン近似における弱収束速度が、1−εのオーダーであることを確立しており、これは本質的に鋭いものである。
• 双曲的アンドリソンモデルにおいて、弱収束速度は既知の強収束速度の2倍であることが確認され、長年の予想されたスケーリング挙動が裏付けられた。
• 主要定理（1.2）の不等式は、任意のε > 0に対して弱誤差がN^{ε−1}の速度で減少することを示しており、収束速度が1に限りなく近いことを示唆している。
• 本手法は非定数拡散係数（乗法的ノイズ）を効果的に扱うことができ、従来の加法的ノイズに限られた結果を拡張した。
• コルモゴロフ方程式とシュレーディンガーノルム推定に基づく証明枠組みは、広範な非線形確率波動方程式のクラスに一般化可能である。
• 結果として、双曲的アンドリソンモデルが弱収束を1−εの速度で満たすことが確認され、確率的偏微分方程式の数値解析分野における長年の未解決問題が解決された。