[論文レビュー] Weak Convergence to Stable Lévy Processes for Nonuniformly Hyperbolic Dynamical Systems

Ian Melbourne, Roland Zweimüller|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非一様に双曲的力学系、特にγ ∈ (1/2, 1) であるPomeau-Mannevilleの間欠的写像に対して、M₁位相における安定Lévy過程への弱収束を確立する。誘導されたギブス・マルコフ系からの関数極限定理を元の系へと持ち上げることで、より強いJ₁位相における収束の失敗を克服し、正規化されたBirkhoff和が弱収束してα = 1/γ であるα安定Lévy過程に収束することを証明する。

ABSTRACT

We consider weak invariance principles (functional limit theorems) in the domain of a stable law. A general result is obtained on lifting such limit laws from an induced dynamical system to the original system. An important class of examples covered by our result are Pomeau-Manneville intermittency maps, where convergence for the induced system is in the standard Skorohod J_1 topology. For the full system, convergence in the J_1 topology fails, but we prove convergence in the M_1 topology.

研究の動機と目的

• 重尾の帰還時間を持つ非一様に双曲的系におけるJ₁位相における弱不変性原理の失敗を解消すること。
• J₁とは異なり、小さなジャンプの蓄積が大きなジャンプに変換可能なM₁位相における関数極限定理を確立すること。
• 誘導系（ギブス・マルコフ）から元の系への一般化された持ち上げ機構を構築し、安定Lévy過程への収束を可能にすること。
• 標準的な中心極限定理が失敗するγ ∈ (1/2, 1) の場合における間欠的写像の統計的特徴付けを完成させること。

提案手法

• J₁収束が成立する誘導されたギブス・マルコフ系から、新規のM₁連続性の議論を用いて元の系への弱収束を持ち上げる。
• 特にL²可積分でない帰還時間を有するヤング塔を含む誘導力学系理論を適用する。
• J₁よりも弱いM₁位相を用い、元の過程が有界なジャンプを持つが、それが1つの大きなジャンプに蓄積される場合の収束を許容すること。
• スペクトル分解と有界な歪み推定を用いて、観測関数のcoboundary部の寄与を制御する。
• ドーブの不等式とマルコフの不等式を適用し、正規化下でcoboundary部の寄与が分布的に消えることを示す。
• 観測関数の本質的部（中立的固定点で0でない）が、Φ*のジャンプ過程の有界性によってM₁収束条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様に双曲的系においてJ₁位相で失敗する安定分布のための弱不変性原理が、M₁位相で成立するか。
• RQ2 誘導されたギブス・マルコフ系から元の系への分布収束がM₁位相で成立する条件は何か。
• RQ3 M₁位相が、間欠的写像の極限過程において小さなジャンプが1つの大きなジャンプに蓄積されるのをどのように扱うか。
• RQ4 観測関数の中立的固定点における振る舞い（例：φ(0) ≠ 0）が、極限の安定分布に与える役割は何か。
• RQ5 M₁収束を用いて、正規分布の非標準的領域収束へのWIPを拡張できるか。

主な発見

• γ ∈ (1/2, 1) であるPomeau-Manneville写像に対して、正規化されたBirkhoff和 Wₙ(t) = n⁻¹/α φ_⌊nt⌋ がM₁位相でα = 1/γ であるα安定Lévy過程に弱収束する。
• Wₙのジャンプサイズが有界であるため、極限で1つの大きなジャンプを近似できないため、J₁位相では収束が失敗する。
• 誘導観測関数Φ₀はJ₁位相でWIPを満たし、その寄与が極限を支配するが、正規化下でcoboundary部の寄与は消える。
• Φ*が有界であるため、元の過程がJ₁条件を満たさないにもかかわらず、M₁収束条件が満たされる。
• 観測関数が中立的集合で0でない限り、他の中立的周期点を持つ間欠的写像へも一般化可能である。
• スペクトル仮定を避けてジャンプ過程への直接的推定を用いることで、従来の手法よりも証明を簡略化した。