[論文レビュー] Weak Dominance Drawings and Linear Extension Diameter

Evgenios M. Kornaropoulos, Ioannis G. Tollis|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2011

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、一般の有向無閉路グラフ（DAG）における弱優位性ドローイングを導入し、座標における優位性関係が有向パスを示唆するが、逆は成り立たない（つまり、誤って示唆されるパス（fips）を最小化する）ものである。弱優位性ドローイング問題がNP完全であることを確立し、部分順序における線形拡張直径問題と同等であることを証明する。

ABSTRACT

We introduce the problem of Weak Dominance Drawing for general directed acyclic graphs and we show the connection with the linear extension diameter of a partial order P. We present complexity results and bounds.

研究の動機と目的

• 標準の優位性ドローイングにおけるパスから優位性への厳密な要件を緩和することで、一般のDAGにおける弱優位性ドローイングを形式化すること。
• 座標の優位性が存在しないパスを示唆する誤って示唆されるパス（fips）の数を最小化すること。
• 弱優位性ドローイングと部分順序の線形拡張直径の間の正式な関係を確立すること。
• 線形拡張直径問題からの還元を用いて、弱優位性ドローイング問題のNP完全性を証明すること。
• 達成可能なfipsの最小数に対する理論的上限を提示すること。

提案手法

• パスの存在が座標の優位性を示すが、逆は必ずしも成り立たたない2次元座標割り当てとして弱優位性ドローイングを定義する。
• 2つのトポロジカルソート $ t_X $ と $ t_Y $ を用いて問題をモデル化し、その共通部分がfipsの数を決定する。
• 弱優位性ドローイング意思決定問題（WDD）を、共通部分のサイズが $ C $ 以下である2つのトポロジカルソートの探索問題として定式化する。
• 線形拡張直径（LED）問題からWDD問題への還元を確立し、NP完全性を証明する。
• 非比較可能なペアの数 $ inc(G) $ がfipsの上界を提供することを用い、$ \min fip(\Gamma) \leq inc(G) - (dim(G) - 2) $ を導出する。
• WDDとLEDの最適解が同等であることを証明し、fipsの最小化が2つの線形拡張間の距離の最大化に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DAGにおける誤って示唆されるパスの数を最小にする弱優位性ドローイングを求める問題の計算複雑性は何か？
• RQ2 弱優位性ドローイング問題は、部分順序の線形拡張直径とどのように関係しているか？
• RQ3 DAGの次元と非比較可能なペアの観点から、弱優位性ドローイングにおける誤って示唆されるパスの最小数を上界で表せるか？
• RQ4 最適な弱優位性ドローイングを計算する多項式時間アルゴリズムは存在するか、それとも問題自体が本質的に困難であるか？
• RQ5 トポロジカルソートと2次元優位性ドローイングにおける誤って示唆されるパスの最小化の関係は何か？

主な発見

• 弱優位性ドローイング問題は、線形拡張直径問題からの還元を用いてNP完全であることが証明された。
• 線形拡張直径問題と弱優位性ドローイング問題は同等である：片方の解決策がもう片方の解決策をもたらす。
• 弱優位性ドローイングにおける誤って示唆されるパスの最小数は、$ \min fip(\Gamma) \leq inc(G) - (dim(G) - 2) $ で抑えられる。
• 最適な弱優位性ドローイングは、線形拡張グラフにおける距離が最大となる2つの線形拡張に対応する。
• 次元 $ dim(G) > 2 $ のDAGでは、標準的優位性ドローイングが可能でない限り、誤って示唆されるパスをゼロにすることはできない。
• 非比較可能なペアの数 $ inc(G) $ は、任意の弱優位性ドローイングにおける誤って示唆されるパスの数の上界である。