[論文レビュー] Weak eigenstate thermalization with large deviation bound

Takashi Mori|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Quantum many-body systems被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、d次元格子上の並進不変な量子スピン系における固有状態熱化仮説（ETH）の大偏差境界を確立し、非熱的固有状態の割合が系サイズNとともに指数関数的に減少することを示している。局所的観測量のエネルギー固有状態における対角行列要素を分析することで、典型的な固有状態が指数的に小さい揺らぎを伴ってETHを満たすことを証明し、大偏差理論を用いて標準的な弱いETHを著しく強化し、孤立系における熱化の厳密な基礎を提供する。

ABSTRACT

We investigate the eigenstate thermalization hypothesis (ETH) for a translationally invariant quantum spin system on the $d$-dimensional cubic lattice under the periodic boundary conditions. It is known that the ETH holds in this model for typical energy eigenstates in the sense that the standard deviation of the expectation values of a local observable in the energy eigenstates within the microcanonical energy shell vanishes in the thermodynamic limit, which is called the weak ETH. Here, it is remarked that the diagonal elements of a local observable in the energy representation shows the large deviation behavior. This result implies that the fraction of atypical eigenstates which do not represent thermal equilibrium is exponentially small.

研究の動機と目的

• 並進不変な量子スピン系に対して、標準的な弱いETHを超えたより強い形の固有状態熱化仮説（ETH）を確立すること。
• 微正準エネルギー殻内の特異的（非熱的）エネルギー固有状態の割合を定量化すること。
• 大偏差理論を用いて、この割合が系サイズNとともに指数関数的に減少することを示すこと。
• 有効次元と大偏差境界に基づいて、孤立系における熱化の厳密な十分条件を提供すること。
• 有効次元スケーリングの観点から、可積分系と非可積分系の違いを明確にすること。

提案手法

• 微正準エネルギー殻 H_{E,ΔE} 内のエネルギー固有状態 |n⟩ における局所的観測量 O の対角行列要素 ⟨n|O|n⟩ を分析する。
• 並進不変で有界なマクロな観測量 M = (1/N)∑_{x∈Λ} O_x を導入する。
• 微正準集合に対する大偏差理論を適用し、M の揺らぎの指数的減少を支配するレート関数 I(m) を定義する。
• Varadhanの定理を用いて、累積生成関数 ⟨e^{NλM}⟩^mc_N と Legendre-Fenchel変換 φ(λ) = sup_m[λm - I(m)] の関係を確立する。
• 大偏差の確率に対する上界を導出する：Prob{|⟨n|O|n⟩ - ⟨O⟩^mc_N| > δ} ≤ e^{-Nγ}（ある γ > 0 に対して）。
• 有効次元 D_eff > e^{-ηN} dim H_{E,ΔE}（η < γ）を満たすことで、熱化の十分条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微正準集合における非熱的固有状態の割合を、系サイズNに関して多項式ではなく指数的に抑えられるか？
• RQ2 d次元格子上における短距離相互作用を有する量子スピン系に対して、弱いETHが短距離相互作用系において指数的大偏差境界を満たすか？
• RQ3 有効次元 D_eff が、時間発展演算子下での量子状態の熱化を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 量子クイエンチダイナミクスの文脈において、可積分系と非可積分系における大偏差境界の違いは何か？
• RQ5 レート関数 I(m) を、並進不変系における局所的観測量の固有状態性質と厳密に結びつけることができるか？

主な発見

• |⟨n|O|n⟩ - ⟨O⟩^mc_N| > δ を満たす非熱的エネルギー固有状態の割合は、ある γ > 0 に対して e^{-Nγ} として指数関数的に減少し、Chebyshevの不等式による多項式境界を著しく上回る。
• d=1 および正の温度、およびd≥2 の高温領域では、大偏差境界（2）が成り立ち、熱的固有状態の強い典型性が示される。
• 累積生成関数 ⟨e^{NλM}⟩^mc_N は、φ(λ) = sup_m[λm - I(m)] によって上界で抑えられ、大偏差理論と関連づけられる。
• 有効次元 D_eff が e^{-ηN} dim H_{E,ΔE} よりも大きく、かつ η < γ である必要があることで、熱化が保証される。これは、D_eff が全微正準次元よりも指数的に小さい場合でも成立する。
• この結果は、有効次元が指数的に抑制されていなければ、熱化が生じ得ることを示唆しており、可積分系と非可積分系の違いを説明する手がかりを与える。
• 非可積分系における数値的証拠は、D_eff ≈ dim H_{E,ΔE} を示唆している一方、可積分系では D_eff ≪ e^{-γN} dim H_{E,ΔE} となることが示され、固有状態統計における根本的な違いが明らかになる。