[論文レビュー] Weak equilibriums for time-inconsistent stopping control problems

Zongxia Liang, Fengyi Yuan|arXiv (Cornell University)|May 1, 2021

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、多次元拡散モデルにおける時間非整合停止制御問題に対して、弱い均衡を導入し、既存の理論と整合する形式的な均衡定義を確立する。均衡が存在するための必要十分条件として、弱い滑らか fitting 原理によって制御される境界条件を満たす関連するハミルトニアン系が解かれることが示され、理論への非自明な拡張を提供する。具体的な例を通じてその有効性が示されている。

ABSTRACT

This paper studies time-inconsistent stopping control problems under general multi-dimensional controlled diffusion model. We first formulate the time-inconsistent stopping control problems and propose a formal definition of their equilibriums. This definition for equilibriums is consistent with the ones in pure control/stopping problems and thus can be seen as nontrivial extension to the existing theory. We show that an admissible pair $(\hat{u},C)$ of control-stopping policy is equilibrium if and only if the axillary function associated to it solves the extended Hamiltonian system. We provide almost equivalent conditions to the boundary term of this Hamiltonian system, which is basically the celebrated smooth fitting principles. In this paper we further reformulate them and propose strong and weak smooth fitting principles. We also give one concrete example that illustrates our theoretical results.

研究の動機と目的

• 一般の多次元制御拡散モデルにおける時間非整合停止制御問題の均衡解を形式化すること。
• 純粋制御問題から派生する既存の均衡理論を、制御と停止の組み合わせ問題へと拡張すること。
• 補助的ハミルトニアン系を用いて、均衡の必要十分条件を確立すること。
• ハミルトニアン系の境界条件に対して、弱いおよび強い滑らか fitting 原理を再定式化すること。
• 理論的枠組みの適用可能性を実証する具体的な例を提示すること。

提案手法

• 純粋制御設定における既存定義を一般化する、時間非整合停止制御問題のための均衡の形式的定義を提唱すること。
• 各制御-停止方策に関連する補助関数を導入し、均衡条件を特徴付けること。
• 均衡方策を決定する拡張されたハミルトニアン系を導出すること。
• ハミルトニアン系の境界項に対して、弱いおよび強い滑らか fitting 原理を同等条件として定式化すること。
• ハミルトニアン系を用いて、動的計画法の原則と関連づけて、均衡の必要十分条件を導出すること。
• 理論的結果の妥当性を検証するため、具体的な例を通じて枠組みを提示すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多次元拡散モデル下での時間非整合停止制御問題において、均衡解をどのように形式的に定義できるか？
• RQ2 どのような条件下で、制御-停止方策がこのような時間非整合枠組みにおいて均衡を形成するか？
• RQ3 この文脈において、滑らか fitting 原理は拡張されたハミルトニアン系の境界条件にどのように適合されるか？
• RQ4 ハミルトニアン系と停止制御問題における均衡条件の関係は何か？
• RQ5 弱いおよび強い滑らか fitting 原理は、均衡解の特徴付けをどのように精緻化するか？

主な発見

• 適切な制御-停止ペア $(\hat{u}, C)$ が均衡であるための必要十分条件は、関連する補助関数が拡張されたハミルトニアン系を解くことである。
• ハミルトニアン系の境界条件は、弱い滑らか fitting 原理によって特徴付けられ、これが均衡条件とほぼ同等であることが示された。
• 本稿では、境界条件の再定式化として、強いおよび弱い滑らか fitting 原理を導入し、均衡特徴付けのための新たな解析的ツールを提供する。
• 理論的枠組みは、均衡条件の適用を実証する具体的な例を通じて検証された。
• 時間非整合制御理論は、停止意思決定を含める形に拡張され、制御と停止の組み合わせ問題に対する統一的アプローチを提供する。