[論文レビュー] Weak error expansion of the implicit Euler scheme

Omar Aboura|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Itôのストキャスティック・ディファレンシャル方程式に適用される陰的エイラー法について、弱誤差展開を確立する。Talay-Tubaroフレームワークを陰的スキームへ拡張したものであり、スキームが弱収束の1次であることを証明し、弱誤差の1次展開を新たな関数 $\psi_i$ を用いて導出する。この $\psi_i$ は、明示スキームの $\psi_e$ とは、$b^2\Delta u$ および $\sigma^2\Delta(b\partial u)$ を含む項の違いを示し、剰余項は $O(h^2)$ で有界である。結果は、コルモゴロフ方程式、伊藤の公式およびクラーク＝オクソンの公式、補間技術に依拠している。

ABSTRACT

In this paper, we extend the Talay Tubaro theorem to the implicit Euler scheme.

研究の動機と目的

• SDEに対する明示的スキームから陰的エイラースキームへ、Talay-Tubaroの弱誤差展開フレームワークを拡張すること。
• 滑らかで有界な係数のもとで、陰的エイラースキームの弱収束挙動を分析すること。
• 新たな関数 $\psi_i$ を含む、正確な1次弱誤差展開を導出すること。この関数は、主要誤差項を特徴付ける。
• SPDEにおける弱誤差の研究の理論的基盤を提供すること。ここでは陰的スキームがより自然に現れる。

提案手法

• SDEに関連するコルモゴロフ後向き方程式を用いて、弱誤差展開を導出する。
• 離散的陰的エイラースキームの連続的補間を導入し、弱誤差の解析を可能にする。
• 伊藤の公式およびクラーク＝オクソンの公式を適用して、誤差項を分解・推定する。
• 陰的スキームの安定性および補正項をモデル化するため、関数 $S_h(x) = 1/(1 - h b'(x))$ を用いる。
• 和の補題を用いて離散から連続への近似を確立し、$h\sum E[v(t_{k+1}, X^{N}_{t_{k+1}}) w(t_k, X^{N}_{t_k})] \to E\int v w(t, X_t) dt$ を示し、$O(h)$ の誤差を伴う。
• $\psi_{ih}$（$\psi_i$ の離散近似）と連続的 $\psi_i$ の差を比較し、期待値において $O(h)$ で有界であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Talay-Tubaroの弱誤差展開フレームワークを、SDEに対する陰的エイラー法へ拡張できるか？
• RQ2 陰的エイラー法の弱誤差展開における主要誤差項は何か？また、明示的ケースとはどのように異なるか？
• RQ3 陰的スキームの弱誤差は、標準的な $O(h)$ 収束を超えて、ドリフト項および拡散係数にどのように依存するか？
• RQ4 関数 $S_h(x) = 1/(1 - h b'(x))$ は、陰的スキームの弱誤差補正において果たす役割は何か？
• RQ5 陰的エイラー法の弱誤差は依然として1次であるか？また、より高次の展開を導出できるか？

主な発見

• 陰的エイラー法は弱収束の1次であり、ある定数 $C$（$N$ に依存しない）に対して、$|\mathbb{E}[f(X_T^N)] - \mathbb{E}[f(X_T)]| \leq Ch$ を満たす。
• 弱誤差は1次展開を許容する：$\mathbb{E}[f(X_T^N)] - \mathbb{E}[f(X_T)] = h\mathbb{E}\int_0^T \psi_i(t, X_t) dt + O(h^2)$ であり、$\psi_i$ はコルモゴロフPDEの解 $u$ の微分と $b$, $\sigma$ の関数として明示的に定義される。
• $\psi_i$ は、明示スキームの $\psi_e$ とは、$b^2\Delta u$、$\sigma^2\Delta(b\partial u)$、および高階微分項を含む項の違いを示し、スキームの陰的性質を反映している。
• 離散近似 $\psi_{ih}$ と連続的 $\psi_i$ の差は $O(h)$ で有界であり、これにより展開が極限においても有効であることが保証される。
• 証明は、コルモゴロフ方程式、伊藤の公式およびクラーク＝オクソンの公式、および離散的・連続的近似の誤差を制御する和の補題に依拠している。
• ドリフト項 $b=0$ の場合、$\psi_i = \psi_e = \frac{1}{8}\sigma^4 \partial^4 u - \frac{1}{8}\sigma^2 \Delta(\sigma^2 \Delta u)$ となり、明示的ケースと整合性が確認される。