[論文レビュー] Weak existence and uniqueness for affine stochastic Volterra equations with L1-kernels

Eduardo Abi Jaber|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、$L^1$-カーネルを備えたアフィン確率ボルテラ方程式について、フーリエ＝ラプラス変換における双対性の議論と決定的リカッチ＝ボルテラ積分方程式を用いて、弱解の存在、一意性、安定性を確立する。主な貢献は、一般の$L^1$-カーネル枠組みにおいて弱一意性を証明したことであり、分数的ダイナミクスにおける負のハースト指数やハイパーレイプHestonモデルへの応用性を拡張する。

ABSTRACT

We provide existence, uniqueness and stability results for affine stochastic Volterra equations with $L^1$-kernels and jumps. Such equations arise as scaling limits of branching processes in population genetics and self-exciting Hawkes processes in mathematical finance. The strategy we adopt for the existence part is based on approximations using stochastic Volterra equations with $L^2$-kernels combined with a general stability result. Most importantly, we establish weak uniqueness using a duality argument on the Fourier--Laplace transform via a deterministic Riccati--Volterra integral equation. We illustrate the applicability of our results on Hawkes processes and a class of hyper-rough Volterra Heston models with a Hurst index $H \\in (-1/2,1/2]$.

研究の動機と目的

• 局所的に$L^1$-可積分なカーネルを備えたアフィン確率ボルテラ方程式について、$L^2$-カーネル枠組みを超えて弱解の存在と一意性を確立すること。
• $L^1$-カーネルが用いられる際、解過程が絶対連続でないことが生じるという問題に対処すること。これは、従来の$L^2$-ベースのアプローチを無効にする。
• 集団遺伝学における分岐過程のスケーリング極限および数学的ファイナンスにおける自己駆動型Hawkes過程のための厳密な基礎を提供すること。
• ハースト指数$H \in (-1/2, 0)$の分数的ダイナミクス、特にハイパーレイプHestonモデルのモデリングを可能にすること。
• ハースト指数が非正の範囲にあっても、粗いボラティリティモデルに対する多要因マルコフ近似の収束を検証すること。

提案手法

• $L^1$-カーネル方程式を、弱解の存在を確立するために、$L^2$-カーネル確率ボルテラ方程式の系列による近似を行う。
• 近似系列に対する一般の安定性結果を適用し、法の極限に移行する。
• 解の分布のフーリエ＝ラプラス変換における双対性の議論を用いて、弱一意性を証明する。
• 解の特性関数を支配する決定的リカッチ＝ボルテラ積分方程式を導出する。
• 確率的フビニの定理を用いて、局所的占有時間過程の導出における積分の交換を行う。
• 触媒的スーパーブラウン運動および$H \in (-1/2, 1/2]$のハイパーレイプHestonモデルへの応用を通じて、フレームワークの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解が絶対連続でない可能性がある$ L^1 $-カーネルを備えたアフィン確率ボルテラ方程式について、弱解の存在と一意性を確立できるか？
• RQ2 $ L^2 $-カーネルの正則性が欠如する状況、特に二次変動が絶対連続でない場合に、弱一意性をどのように証明できるか？
• RQ3 負のハースト指数を伴う分数的ダイナミクス、例えば粗いボラティリティモデルにおいて、このフレームワークがどの程度まで適用可能か？
• RQ4 ハースト指数が非正であっても、多要因マルコフ近似がハイパーレイプHestonモデルに収束するか？
• RQ5 点状の触媒を有する触媒的スーパブラウン運動の局所的占有時間と、$ L^1 $-カーネルを備えた確率ボルテラ方程式との正確な関係は何か？

主な発見

• 弱解の存在は、$ L^2 $-カーネル方程式による近似と一般の安定性結果を用いて確立され、法の収束が保証される。
• 弱一意性は、フーリエ＝ラプラス変換における双対性の議論を用いて証明され、問題は決定的リカッチ＝ボルテラ方程式に還元される。
• リカッチ＝ボルテラ方程式の解は、アフィン過程の特性関数を支配し、モーメント母関数の計算を可能にする。
• このフレームワークは、ハースト指数$ H \in (-1/2, 1/2] $のハイパーレイプHestonモデルに適用可能であり、$ H \in (-1/2, 0) $の場合を含む、従来の結果を拡張する。
• 点状の触媒を有する触媒的スーパブラウン運動の局所的占有時間は、カーネル$ K(t) = t^{-1/2} $を備えた確率ボルテラ方程式を満たし、これは$ H = -1/4 $に対応する。
• 多要因マルコフ近似は、$ H \in (-1/2, 0] $の範囲でもハイパーレイプHestonモデルに収束し、数値シミュレーションを可能にする。