[論文レビュー] Weak existence of a solution to a differential equation driven by a very rough fBm

Davar Khoshnevisan, Jason R. Swanson+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Hurstパラメータ $ H \in (0, \frac{1}{4}] $ の非常に粗い分数 Browanian motion (fBm) によって駆動される確率微分方程式 (SDE) の弱解の存在を確立する。非線形確率的熱方程式との関係を用いて、解過程が任意の指数 $ \gamma < H $ に対して Hölder-連続であることを証明し、解の分布を確率的PDEによって特徴づける。これは、古典的な $ \frac{1}{3} $-閾値を超える非常に粗い信号へのrough path理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

We prove that if $f:\mathbb{R} o\mathbb{R}$ is Lipschitz continuous, then for every $H\in(0,1/4]$ there exists a probability space on which we can construct a fractional Brownian motion $X$ with Hurst parameter $H$, together with a process $Y$ that: (i) is Hölder-continuous with Hölder exponent $γ$ for any $γ\in(0,H)$; and (ii) solves the differential equation $dY_t = f(Y_t) dX_t$. More significantly, we describe the law of the stochastic process $Y$ in terms of the solution to a non-linear stochastic partial differential equation.

研究の動機と目的

• Hurstパラメータ $ H \leq \frac{1}{4} $ の非常に粗い分数 Browanian motion によって駆動される確率微分方程式の解の存在を確立すること。この場合、古典的な rough path 理論は機能しない。
• 解過程 $ Y $ の分布を非線形確率的偏微分方程式 (SPDE)、特に確率的熱方程式の観点から特徴づけること。
• 標準的な Young や Itô 積分が使えない領域である $ H \in (0, \frac{1}{4}] $ の領域において、制御された rough path 理論を拡張すること。
• 駆動される fBm の不規則性にもかかわらず、解 $ Y $ がほとんど確実に任意の指数 $ \gamma < H $ に対して Hölder-連続であることを示すこと。

提案手法

• Hurstパラメータ $ H \leq \frac{1}{4} $ の分数 Browanian motion $ X $ を用いて、SDE $ dY_t = f(Y_t) dX_t $ の解 $ Y $ を確率的弱解のアプローチにより構成する。
• 解 $ Y $ と、乗法的ノイズを伴う非線形確率的熱方程式の解 $ u $ の間の変換関係に依存する。
• SPDE の解 $ u $ を用いて、$ c_\alpha $ を fBm の共分散構造から得られる正規化定数として、$ Y_t = c_\alpha u_t(0) $ と定義する。
• Malliavin微分とモーメント推定を用いて、差分 $ Y_{t+\varepsilon} - Y_t - f(Y_t)(X_{t+\varepsilon} - X_t) $ を制御し、ある $ \mathcal{G}_H > H $ に対して $ \varepsilon^{\mathcal{G}_H} $ よりも速く減少することを示す。
• 差分を主項と余剰項に分解し、Chebyshevの不等式とガウス型尾部推定を用いて、余剰項が確率的に無視可能であることを示す。
• 比 $ \frac{Y_{t+\varepsilon} - Y_t}{X_{t+\varepsilon} - X_t} $ が $ \varepsilon \to 0 $ のとき $ f(Y_t) $ に確率的に収束することを示し、弱い意味でのSDE構造を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hurstパラメータ $ H \leq \frac{1}{4} $ の非常に粗い分数 Browanian motion によって駆動されるSDEに対して、標準的な rough path 理論が破綻する状況でも弱解が存在しうるか？
• RQ2 駆動ノイズが古典的な Itô や Stratonovich 積分に適さないほど粗い場合、解過程 $ Y $ の確率的構造はどのように特定できるか？
• RQ3 このようなSDEの解は、特に確率的熱方程式としての非線形SPDEによってどのように特徴づけられるか？
• RQ4 駆動される fBm の不規則性にもかかわらず、解過程 $ Y $ が任意の指数 $ \gamma < H $ に対してほとんど確実に Hölder-連続であるか？
• RQ5 Hurstパラメータ $ H \leq \frac{1}{4} $ の場合に、差分商 $ \frac{Y_{t+\varepsilon} - Y_t}{X_{t+\varepsilon} - X_t} $ が確率的に $ f(Y_t) $ に収束するかをどのように示せるか？

主な発見

• 任意のリプシッツ連続関数 $ f $ に対して、$ H \in (0, \frac{1}{4}] $ のfBmによって駆動されるSDE $ dY_t = f(Y_t) dX_t $ に対して、適切な確率空間上に弱解 $ Y $ が存在する。
• 解 $ Y $ は任意の指数 $ \gamma < H $ に対してほとんど確実に Hölder-連続であることが確認され、駆動ノイズの粗さにもかかわらず正則性が保たれている。
• 解 $ Y $ の分布は、乗法的ノイズを伴う非線形確率的熱方程式の解の空間的ゼロ点での評価として特徴づけられる。
• 差分 $ \Theta = Y_{t+\varepsilon} - Y_t - f(Y_t)(X_{t+\varepsilon} - X_t) $ に対して、ある $ \mathcal{G}_H > H $ が存在し、$ \mathbb{E}[|\Theta|^2] \leq A_T \varepsilon^{2\mathcal{G}_H} $ を満たす。これは、多項式より速い減衰を意味する。
• 差分商 $ \frac{Y_{t+\varepsilon} - Y_t}{X_{t+\varepsilon} - X_t} $ は $ \varepsilon \to 0 $ のとき $ f(Y_t) $ に確率的に収束する。これは弱い意味でのSDE構造の確認である。
• 任意の $ b > H $ に対して、$ |X_{t+\varepsilon} - X_t| < \varepsilon^b / \delta $ となる確率は $ \varepsilon \to 0 $ のとき消失する。これに加え、$ \Theta $ の減衰性を組み合わせることで、差分商の確率的収束が保証される。