[論文レビュー] Weak Expansiveness for Actions of Sofic Groups

Nhan‐Phu Chung, Guohua Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、開被覆とテイルエントロピーを用いて、ソフィック群作用におけるh-拡張性および漸近的h-拡張性を導入し、MisiurewiczとBowenの概念を一般化する。すべての拡張性のあるソフィック群作用はh-拡張性をもち、測度に関するエントロピー関数の上半連続性により、すべての漸近的h-拡張性のある作用は最大エントロピー測度をもつことを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we shall introduce $h$-expansiveness and asymptotical $h$-expansiveness for actions of sofic groups. By the definitions, each h-expansive action of sofic groups is asymptotically $h$-expansive. We show that each expansive action of sofic groups is $h$-expansive, and, for any given asymptotically $h$-expansive action of sofic groups, the entropy function (with respect to measures) is upper semi-continuous and hence the system admits a measure with maximal entropy. Observe that asymptotically $h$-expansive property was firstly introduced and studied by Misiurewicz for $\mathbb{Z}$-actions using the language of tail entropy. And thus in the remaining part of the paper, we shall compare our definitions of weak expansiveness for actions of sofic groups with the definitions given in the same spirit of Misiurewicz's ideas when the group is amenable. It turns out that these two definitions are equivalent in this setting.

研究の動機と目的

• Z-作用に対して定義されたh-拡張性および漸近的h-拡張性の概念を、ソフィック群作用へ自然に拡張すること。
• 拡張性のあるソフィック群作用がh-拡張性をもつことを確立し、非可換な設定へ古典的結果を一般化すること。
• 漸近的h-拡張性をもつソフィック群作用に対して、測度論的エントロピー関数が不変測度に関して上半連続であることを示し、最大エントロピー測度の存在を保証すること。
• アーベル群の場合における新しい定義とMisiurewiczのテイルエントロピーのアプローチを比較し、同等性を証明すること。
• コンパクトアーベル群の自己同型としての作用において、漸近的h-拡張性を特徴づけ、群が可換であるとき有限エントロピーと同等であることを示すこと。

提案手法

• 開被覆とソフィック近似列を用いて、ソフィック群作用におけるh-拡張性および漸近的h-拡張性を定義する。
• BowenおよびKerr-Liのソフィック測度論的エントロピー枠組みを用い、不変測度に関するエントロピー関数を分析する。
• Misiurewiczの精神に従い、入れ子になった開被覆と条件付きエントロピーを用いて、可換群作用におけるテイルエントロピーを導入・分析する。
• 測度論的性質と位相的構造との関係を明らかにするために、α-一様測度の概念を導入する。
• 被覆数と集合の測度（MF(V)）を含む組合せ的推定を用いて、エントロピーの差を評価する。
• 群が可換であるとき、ソフィック群の定義とMisiurewiczのテイルエントロピー定義が同等であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z-作用からソフィック群作用へ、h-拡張性および漸近的h-拡張性の概念を自然に拡張することは可能か？
• RQ2 すべてのソフィック群の拡張性作用は、必然的にh-拡張性をもつのか？
• RQ3 ソフィック群作用における漸近的h-拡張性は、不変測度に関するエントロピー関数の上半連続性を意味するのか？
• RQ4 群が可換であるとき、ソフィック群の弱拡張性の定義はMisiurewiczのテイルエントロピー定義と同等か？
• RQ5 可換群がコンパクトアーベル群の自己同型として作用するとき、漸近的h-拡張性は有限エントロピーと同等か？

主な発見

• すべてのソフィック群の拡張性作用はh-拡張性をもち、古典的結果を非可換群へ一般化する。
• すべての漸近的h-拡張性のあるソフィック群作用は、不変測度に関してエントロピー関数が上半連続であり、したがって最大エントロピー測度をもつ。
• 群が可換であるとき、ソフィック群におけるh-拡張性および漸近的h-拡張性の定義は、Misiurewiczのテイルエントロピー定義と同等である。
• 可換な離散可換群がコンパクト距離群に連続自己同型として作用する任意の作用は、有限エントロピーをもつことと、漸近的h-拡張性をもつこととが同値である。
• コンパクトアーベル群のハール測度はα-一様的であり、有限エントロピーの下で漸近的h-拡張性を示す測度論的道具の使用を可能にする。
• 非拡張性で、かつ可換群がコンパクトアーベル群に作用する漸近的h-拡張性のある作用が存在する—例えば、ℓ1(G)における可逆でない非ゼロ因子fに対する主代数的作用αf—これらはエントロピーが有限であるときかつそのときに限り、漸近的h-拡張性をもつ。