[論文レビュー] Weak$^*$ Fixed Point Property and Polyhedrality in Lindenstrauss Spaces

Emanuele Casini, Enrico Miglierina+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Optimization and Variational Analysis被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、双対単位球の構造を分析することによって、分離可能なリンドストラウス空間の双対における弱*固定点性質およびその安定版の幾何的特徴づけを確立する。フォンフとヴェゼロが導入した強化された多面体的条件が、安定したw*-固定点性質と同値であることを証明し、より弱い条件を予対双対における多面体的性質に関連づけ、このクラスの空間における多面体的性質の階層を洗練する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the $w^*$-fixed point property for nonexpansive mappings in the duals of separable Lindenstrauss spaces by means of suitable geometrical properties of the dual ball. First we show that a property concerning the behaviour of a class of $w^*$-closed subsets of the dual sphere is equivalent to the $w^*$-fixed point property. Then, the main result of our paper shows an equivalence between another, stronger geometrical property of the dual ball and the stable $w^*$-fixed point property. The last geometrical notion was introduced by Fonf and Veselý as a strengthening of the notion of polyhedrality. In the last section we show that also the first geometrical assumption that we have introduced can be related to a polyhedral concept for the predual space. Indeed, we give a hierarchical structure among various polyhedrality notions in the framework of Lindenstrauss spaces. Finally, as a by-product, we obtain an improvement of an old result about the norm-preserving compact extension of compact operators.

研究の動機と目的

• 分離可能なリンドストラウス空間の双対におけるw*-固定点性質を、双対単位球の幾何的性質を用いて特徴づける。
• 双対単位球におけるより強い幾何的条件と安定w*-固定点性質との間の同値性を確立する。
• 導入された幾何的仮定を予対双対空間における多面体的構造に関連付ける。
• リンドストラウス空間の枠組み内で、多面体的性質の概念の階層を洗練する。
• 主結果の副産物として、コンパクト作用素のノルムを保存するコンパクト拡張に関する既存の結果を改善する。

提案手法

• w*-閉部分集合に対する双対単位球上での幾何的条件を導入し、分離可能なリンドストラウス空間の双対におけるw*-固定点性質を特徴づける。
• フォンフとヴェゼロの多面体的性質にインspiredされた、双対単位球のより強い幾何的性質を定義し、その分析を行う。
• このより強い性質と安定w*-固定点性質との同値性を確立する。
• 双対性を用いて、より弱い幾何的仮定を予対双対空間における多面体的性質に関連付ける。
• 双対性および幾何的関数解析の技法を用いて、多面体的性質概念間の含意関係を導出する。
• 得られた結果を応用し、ノルムを保存する形でコンパクト作用素を拡張する。これは古典的結果の改善である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対単位球におけるどのような幾何的条件が、非拡大写像に対するw*-固定点性質を特徴づけるか？
• RQ2 安定w*-固定点性質は、双対空間における強化された多面体的条件とどのように関係するか？
• RQ3 w*-固定点性質に関連するより弱い幾何的仮定は、予対双対空間における多面体的構造と結びつけることができるか？
• RQ4 リンドストラウス空間における、さまざまな多面体的性質の概念の階層的関係は何か？
• RQ5 この幾何的枠組みは、コンパクト作用素の拡張理論における改善をもたらすことができるか？

主な発見

• w*-閉部分集合に対する幾何的条件が、分離可能なリンドストラウス空間の双対におけるw*-固定点性質と同値であることが示された。
• 双対単位球のより強い幾何的性質が、安定w*-固定点性質と同値であることが示された。
• より強い幾何的条件は、フォンフとヴェゼロが導入した多面体的タイプの性質に対応しており、安定性と多面体的構造の間の関連を確立した。
• より弱い幾何的仮定が、予対双対空間における多面体的概念と関連づけられ、双対性のリンクが確立された。
• リンドストラウス空間のクラス内で、多面体的性質の概念の階層が確立された。
• 主結果の副産物として、コンパクト作用素のノルムを保存するコンパクト拡張に関する結果が改善された。