[論文レビュー] Weak forms of topological and measure theoretical equicontinuity: relationships with discrete spectrum and sequence entropy

Felipe García‐Ramos|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、位相的・測度論的等連続性の弱い形態であるμ平均等連続性と直径平均等連続性を導入し、エルゴディックおよび最小系において、離散スペクトルおよびゼロ系列エントロピーとその同値性を確立する。エルゴディック系において、μ平均等連続性は離散スペクトルと同値であり、系はμ平均等連続またはμ平均感受性のいずれかであり、純粋な離散スペクトルと強い測度論的感受性との二分法が成り立つ。

ABSTRACT

We define weaker forms of topological and measure theoretical equicontinuity for topological dynamical systems and we study their relationships with systems with discrete spectrum and zero sequence entropy. In the topological category we show systems with zero topological sequence entropy are strictly contained in the diam-mean equicontinuous systems; and that transitive almost automorphic subshifts are diam-mean equicontinuous if and only if they are regular (i.e. the maximal equicontinuous factor map is 1-1 on a set of full Haar measure). In the measure category we show that for ergodic topological systems having discrete spectrum is equivalent of being μ-mean equicontinuous. For both categories we find characterizations using stronger versions of the classical notion of sensitivity.

研究の動機と目的

• 位相的・測度論的力学系における等連続性のより弱い形態、すなわちμ平均等連続性と直径平均等連続性を定義・分析すること。
• これらの弱い等連続性の概念と離散スペクトルとの関係、特にエルゴディック系および最小系における関係を明確化すること。
• 離散スペクトルを有する系と強い測度論的感受性を示す系との間の二分法を確立すること。
• 正則性（全ハール測度上で1対1）と直径平均等連続性の同値性を、推移的 almost automorphic subshift に対して示すことにより、既知のnull系およびalmost automorphic subshiftに関する結果を拡張すること。

提案手法

• μ平均等連続性を、帰還時間の密度極限に基づいて定義し、平均等連続性およびμ等連続性の弱体化として導入する。
• Kushnirenkoによる測度論的系列エントロピーがゼロであることを離散スペクトルの特徴づけとして用い、エルゴディック系においてμ平均等連続性と離散スペクトルの同値性を確立する。
• 直径平均等連続性を、小さな直径における帰還時間の漸近的密度に基づいて定義し、平均等連続性の位相的強化として位置づける。
• 可換なアメーブル群の作用およびFølner列の結果を応用し、整数群ℤに限らず、可算離散アーベル群へ一般化する。
• 点ごとのエルゴディック定理および一般点を用いて、エルゴディック系における一般的挙動および密度性の性質を分析する。
• 最大等連続因子写像およびその性質を用いて、正則性およびalmost automorphic系の特徴づけを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルゴディック測度保存系において、μ平均等連続性は離散スペクトルと同値か？
• RQ2 直径平均等連続性のような弱い等連続性の概念は、部分系列における位相的系列エントロピーおよび最小性とどのように関係するか？
• RQ3 推移的 almost automorphic subshift において、正則性と直径平均等連続性の同値性を確立できるか？
• RQ4 最小null系（位相的系列エントロピーがゼロ）は、直径平均等連続性のような弱い形の等連続性を満たすか？
• RQ5 エルゴディック系において、μ平均等連続性とμ平均感受性との間に二分法が成立し、離散スペクトルとカオスとの構造的二分法が導かれるか？

主な発見

• エルゴディック系において、μ平均等連続性は離散スペクトルと同値であり、このような系はμ平均等連続またはμ平均感受性のいずれかである。
• 位相的系列エントロピーがゼロである最小部分系列は、直径平均等連続性のクラスに厳密に含まれる。
• 推移的 almost automorphic subshift は、最大等連続因子写像が全ハール測度上で1対1である（すなわち正則である）場合に限り、直径平均等連続性を満たす。
• 最小null系（位相的系列エントロピーがゼロ）は直径平均等連続性を満たし、位相的カオスが存在しない状況においても弱い等連続性の性質が成立する。
• 本稿では、二分法を確立した：任意のエルゴディック位相的力学系は、μ平均等連続性（したがって離散スペクトルを有する）またはμ平均感受性のいずれかである。これは測度論的感受性に関する二分法を示している。
• 結果は可算離散アーベル群へ拡張可能であり、最小null系はalmost automorphicであり、正則性は直径平均等連続性を意味する。