[論文レビュー] Weak Frobenius manifolds

Claus Hertling, Yuri I. Manin|ArXiv.org|Oct 21, 1998

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、固定された平坦計量を必要としない『弱Frobenius多様体』——Frobenius多様体から平坦計量を除いたもの——の概念を、接ベクトル場上のLie括弧と$\nabla$-積の間の普遍的恒等式を特定することによって導入する。主な貢献は、潜在性条件を符号化する新しい代数的恒等式(1)であり、これにより弱Frobenius多様体の定義が可能となり、半単純でない場合を含め、Euler場からVirasoro代数の構成を一般化できる。

ABSTRACT

We establish a new universal relation between the Lie bracket and $\circ$-multiplication of tangent fields on any Frobenius (super)manifold. We use this identity in order to introduce the notion of ``weak Frobenius manifold'' which does not involve metric as part of structure. As another application, we show that the powers of an Euler field generate (a half of) the Virasoro algebra on an arbitrary, not necessarily semisimple, Frobenius supermanifold.

研究の動機と目的

• 固定された平坦計量を要件としないFrobenius多様体の新クラス、すなわち『弱Frobenius多様体』を定義すること。
• Frobenius多様体の潜在性条件を計量に依存せずに符号化する普遍的代数的恒等式(1)を同定すること。
• Euler場から得られるVirasoro代数の構成を、半単純でない場合を含む任意のFrobenius超多様体へ一般化すること。
• 弱Frobenius多様体とDubrovinのねじれFrobenius多様体との関係を明確にすること。

提案手法

• 接ベクトル場上のLie括弧と$\nabla$-積の関係を記述する新しい普遍的恒等式(1)を導出する。これはPoisson恒等式よりも厳密に弱いが、Leibniz則から形式的に導かれる。
• Lie括弧が恒等式(1)を満たす超可換代数を$F$-代数と定義し、Frobenius多様体の接空間構造を一般化する。
• 固定された平坦計量を前提としないが、$F$-構造とポテンシャルを持つ多様体として『弱Frobenius多様体』を定義する。
• 恒等式(3)を用いて、半単純な場合に平坦計量の存在が構造の潜在性と同値であることを示す。
• Euler場のべきが恒等式$[E^{\nabla n}, E^{\nabla m}] = d_0(m-n) E^{\nabla m+n-1}$に従い、半単純でない場合でさえも半Virasoro代数を生成することを証明する。
• 恒等式を応用し、計量に関して共形的である弱Euler場の族が、括弧演算に関して閉じており、計量の再定義に伴い重みが線形に変化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Frobenius多様体の概念を、固定された平坦計量を要件としない形で再定式化できるか？
• RQ2 Frobenius多様体の接ベクトル場上でのLie括弧と$\nabla$-積の間の相互作用を支配する普遍的代数的恒等式は何か？
• RQ3 Euler場から得られるVirasoro代数の構成は、半単純でない場合にも拡張可能か？
• RQ4 弱Frobenius多様体は、DubrovinのねじれFrobenius多様体とどのように関係するか？
• RQ5 Poissonずれテンソル$P_X$は、$F$-代数の構造を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• Lie括弧と$\nabla$-積の間の普遍的恒等式(1)は、任意のFrobenius（超）多様体上で成立し、Poisson恒等式よりも厳密に弱い。
• 恒等式(1)は潜在性条件の本質的側面を符号化しており、固定された計量を前提としない弱Frobenius多様体の定義を可能にする。
• 半単純な$F$-多様体は、互いに可換な$\nabla$-単位元ベクトル場の局所基底の存在によって特徴づけられる。
• 任意のFrobenius超多様体上でのEuler場$E$のべきは、$[E^{\nabla n}, E^{\nabla m}] = d_0(m-n) E^{\nabla m+n-1}$を満たし、半Virasoro代数を生成する。
• 計量に関して共形的である弱Euler場の族は、括弧演算に関して閉じており、計量の再定義に伴い重みが線形に変化する。
• Poissonずれテンソル$P_X$は、半単純な場合に定数倍の場のPoisson部分代数上でのみ消えるし、$P_X$は$\nabla$-微分作用素である。