[論文レビュー] Weak Fusion 2-Categories

Thibault D. Décoppet|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、[DR18]の定義を一般化する弱い融合2カテゴリの概念を導入し、主要な構造的性質を確立する：多重融合2カテゴリにおいて左双対と右双対が一致すること、連結融合2カテゴリがバーティカル融合カテゴリと一対一に対応すること、および点付きバーティカル融合カテゴリの融合規則を計算することである。本研究は、トポロジカル量子場理論およびカテゴライズド代数的構造における高階圏論の基礎的道具を提供する。

ABSTRACT

We introduce a weakening of the notion of fusion 2-category given in arXiv:1812.11933. Then, we establish a number of properties of (multi)fusion 2-categories. Finally, we describe the fusion rule of the fusion 2-categories associated to certain pointed braided fusion categories.

研究の動機と目的

• 本稿では、[DR18]の定義を一般化する弱い融合2カテゴリの概念を定義することを目的とする。
• 特に左双対と右双対の一致を含む、多重融合2カテゴリの構造的性質を確立することを目的とする。
• 連結融合2カテゴリがバーティカル融合カテゴリと正確に対応することを示すこと。
• 特定の点付きバーティカル融合カテゴリに関連する融合2カテゴリの融合規則を計算すること。
• トポロジカル量子場理論およびカテゴライズド代数的構造における高階圏論的構造の基礎的土台を築くこと。

提案手法

• 右随伴と双対を持つモノイダル2カテゴリに基づき、融合2カテゴリの一般化を提案する。
• 一貫性のある双対構造を保証するために、一貫性のある双対と飲み込み尾の式を用いる。
• 各対象をその右双対に写す2ファンクター (−)♯: C → C1op を、随伴データを用いて構成する。
• 2カテゴリの整合性定理を用いて、一般性を失わず厳密な立方体的構造を仮定する。
• 双対を用いてホムカテゴリ間の自然同型を導出し、デカタゴライズド随伴の一般化を行う。
• 分解定理とバーティカル融合カテゴリのデータを用いて融合規則を計算し、[ENO05]を2カテゴリへ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 本稿で導入された融合2カテゴリの定義は、[DR18]および[ JF20]における既存の定義を一般化・統合するものか？
• RQ2 多重融合2カテゴリにおいて、対象の左双対と右双対は常に一致するのか？
• RQ3 連結融合2カテゴリとバーティカル融合カテゴリの間の正確な関係は何か？
• RQ4 点付きバーティカル融合カテゴリに関連する融合2カテゴリの融合規則は、どのように計算できるか？
• RQ5 各対象をその右双対に写す2ファンクター (−)♯: C → C1op はモノイダルにできるか？また、その条件は何か？

主な発見

• 任意の多重融合2カテゴリにおける対象の左双対と右双対が一致することを示し、高階圏論における構造的曖昧さを解消した。
• 融合2カテゴリの単位の連結成分は融合部分2カテゴリをなす。また、連結融合2カテゴリはバーティカル融合カテゴリと一対一対応する。
• 点付きバーティカル融合カテゴリに関連する融合2カテゴリの融合規則は、可逆対象の群代数を用いて計算され、その結果は群の表現のカテゴリと同値である。
• 群Gとねじれバーティカル構造を持つ点付きバーティカル融合カテゴリに対して、関連する融合2カテゴリの融合規則はバーティカルの群コホホロジー類によって決定される。特に、G = Z/2Z で、ねじれバーティカルが (1,1) と (1,-1) の場合、異なる融合規則が得られる。
• 各対象をその右双対に写す2ファンクター (−)♯: C → C1op は2ファンクターとして存在するが、完全なモノイダル性の整合性は未解決であり、その存在は予想されている。