[論文レビュー] Weak Galerkin Finite Element Methods on Polytopal Meshes

Lin Mu, Junping Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 14被引用数 150

ひとこと要約

本稿は、任意の多面体メッシュ上で第二種楕円型方程式に適応可能な、新たな弱ガレルキン有限要素法（WG-FEM）を提案する。この手法は、不連続な多項式空間上での離散弱勾配作用素を用いる。本手法は、離散 $H^1$ 空間および $L^2$ 空間の両方において最適な収束率を達成しており、へばりノードや歪んだ形状を有する要素を含む一般の多面体要素に対しても、強固であることが示された。

ABSTRACT

This paper introduces a new weak Galerkin (WG) finite element method for second order elliptic equations on polytopal meshes. This method, called WG-FEM, is designed by using a discrete weak gradient operator applied to discontinuous piecewise polynomials on finite element partitions of arbitrary polytopes with certain shape regularity. The paper explains how the numerical schemes are designed and why they provide reliable numerical approximations for the underlying partial differential equations. In particular, optimal order error estimates are established for the corresponding WG-FEM approximations in both a discrete $H^1$ norm and the standard $L^2$ norm. Numerical results are presented to demonstrate the robustness, reliability, and accuracy of the WG-FEM. All the results are derived for finite element partitions with polytopes. Allowing the use of discontinuous approximating functions on arbitrary polytopal elements is a highly demanded feature for numerical algorithms in scientific computing.

研究の動機と目的

• 複雑または非伝統的な要素を含む一般の多面体メッシュに対しても、効率的に動作する有限要素法の開発を目的とする。
• 従来の適合および非適合 FEM に起因する制限を克服し、任意の多面体上での不連続近似を可能にする。
• 第二種楕円型問題に対して、離散弱勾配作用素を用いて安定的かつ高精度な数値スキームを確立する。
• 形状正則な多面体分割上での提案された WG-FEM について、$H^1$ および $L^2$ 空間の両方で最適な誤差推定を証明する。

提案手法

• 各多面体要素上で、局所的なラヴィアル・トーマスまたはブレッチ・ダウグラー・マリニ要素を用いて定義される離散弱勾配作用素を採用する。
• 不連続な多項式を有限要素空間として用い、要素境界を越えて非適合近似を可能にする。
• 弱ガレルキンの式は、古典的勾配を弱く定義された勾配に置き換えることで、滑らかでない関数を変分式に組み込むことを可能にする。
• 離散弱勾配を用いて要素ごとにバイリニア形式を構築し、任意の多面体メッシュ上での一貫性および安定性を保証する。
• へばりノードを扱うために、そのノードを含む辺をより小さなセグメントに細分化し、それに応じて辺上の有限要素空間を再定義する。
• へばりノードを含む非形状正則メッシュに対しても最適収束を維持できるように、定式化に安定化技術を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続多項式近似を用いる有限要素法は、任意の多面体メッシュ上で最適な収束を達成できるか？
• RQ2 正三角形や正四面体でない要素に対しても、最小限の正則性仮定で勾配作用素を一般化できるか？
• RQ3 へばりノードは、弱ガレルキンスキームの収束性および安定性にどのような影響を及えるか？
• RQ4 歪んだまたは歪みのある多面体要素に対しても、離散弱勾配定式化は最適な誤差境界を維持できるか？
• RQ5 同じメッシュタイプ上で、従来の DG 法や [17] の先行 WG 法と比較して、新しい WG-FEM は収束速度および精度において優れているか？

主な発見

• 数値実験により、多項式次数 $k$ に対して、離散 $H^1$ 空間では $O(h^{k+1})$、$L^2$ 空間では $O(h^{k+2})$ の最適収束次数を達成していることが確認された。
• 均一な長方形メッシュ上では、$H^1$ 空間の収束率が約 1.0、$L^2$ 空間の収束率が約 2.0 となり、理論的予測と一致した。
• 歪んだ長方形メッシュ上でも、$H^1$ 収束率 $r \approx 0.98$、$L^2$ 収束率 $r \approx 1.96$ を維持し、強固さが裏付けられた。
• へばりノードを含むメッシュ上では、$H^1$ 収束率 $r \approx 0.92$、$L^2$ 収束率 $r \approx 1.85$ を達成しており、非正則な要素に対してもほぼ最適な性能を示した。
• 数値結果から、新しい WG-FEM は DG 法および [17] の先行 WG 法に比べ、特に $L^2$ 誤差低減において優れた収束速度を示した。
• 歪みが著しい、または形状正則でない多面体分割に対しても、本手法は安定的かつ高精度を維持しており、実用的な計算状況における強固さが示された。