[論文レビュー] Weak Gelfand Pair Property And Application To GL(n+1),GL(n) Over Finite Fields

Yoav Ben Shalom|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限体上の GL(n+1, F_q) および GL(n, F_q) に対して、すべての既約表現が高々2つの GL(n, F_q)-不変ベクトルを持つことを確立し、転置反自己同型を用いた一般化されたゲルファンドの技法により、弱いゲルファンド対の性質を証明する。主な結果は、特性 ≠ 2 の代数閉体上でのすべての既約表現 π に対して dim π^{GL_n(F_q)} ≤ 2 であり、q が2のべきでない場合、直交群に対しても同様の評価が成り立つ。

ABSTRACT

Let F_q be the finite field with q elements. Consider the standard embedding GL(n,F_q) -> GL(n+1,F_q). In this paper we prove that for every irreducible representation pi of GL(n+1,F_q) over algebraically closed fields of characteristic different from 2 we have dimπ^GL(n,F_q)<=2. To do that we define a property of weak Gelfand pair and prove a generalization of Gelfand trick for weak Gelfand pairs, using the anti-involution transpose to get the result for GL(n+1,F_q),GL(n,F_q). In a similar manner we show that for q not a power of 2 O(n+1,F_q),O(n,F_q) is a Gelfand pair over algebraically closed fields of characteristic different from 2.

研究の動機と目的

• 有限体上での GL(n+1, F_q), GL(n, F_q) の対がゲルファンド対でない失敗の度合いを定量化すること。
• 古典的ゲルファンド対の一般化として、弱いゲルファンド対の理論を定義し発展させること。
• 反自己同型がすべての二重コセットを保存しない設定へゲルファンドの技法を一般化し、不変ベクトルの重複度の評価を得ること。
• q が2のべきでない場合、特性 ≠ 2 の体上で (O_{n+1}(F_q), O_n(F_q)) がゲルファンド対であることを証明すること。
• C に限らない任意の代数閉体（特性 ≠ 2）に対しても適用可能な表現論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 弱いゲルファンド対の概念を導入し、既約 G-表現における H-不変ベクトルの次元に上限を与えるものとして定義する。
• 反自己同型 σ が H を保存し、π の中心的特徴を保存する条件下で、古典的ゲルファンドの技法を一般化する。このとき、保存されない二重コセットの数に上限を与える。
• GL(n+1, F_q) 上で転置写像を反自己同型 σ として用い、GL(n, F_q) と既約表現の中心的特徴を保存する。
• GL_n(F_q)\GL_{n+1}(F_q)/Z(GL_{n+1}(F_q))GL_n(F_q) の二重コセットのうち、転置で保存されないのはちょうど2つであることを証明し、これにより k = 1 が得られる。
• 補題2.2を適用して、特性 ≠ 2 の体 F 上のすべての既約表現 π に対して dim π^{GL_n(F_q)} ≤ k + 1 = 2 を導出する。
• 同じ反自己同型と二重コセット数え上げ法を直交群へ応用し、q が2のべきでない場合、(O_{n+1}(F_q), O_n(F_q)) がゲルファンド対であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 ≠ 2 の体上での GL(n+1, F_q) の既約表現 π に対して、GL(n, F_q)-不変ベクトルの空間の次元の最大値は何か？
• RQ2 反自己同型がすべての二重コセットを保存しない場合に、古典的ゲルファンドの技法を一般化できるか？
• RQ3 転置による保存されない二重コセットの数は、不変ベクトルの重複度にどのように影響するか？
• RQ4 有限体上での対 (O_{n+1}(F_q), O_n(F_q)) がゲルファンド対である条件は何か？
• RQ5 弱いゲルファンド対の性質を用いて、有限体上の古典的群の表現における重複度の評価を得られるか？

主な発見

• 特性 ≠ 2 の代数閉体 F 上の GL_{n+1}(F_q) のすべての既約表現 π に対して、GL_n(F_q)-不変ベクトルの空間の次元は dim π^{GL_n(F_q)} ≤ 2 を満たす。
• GL_n(F_q)-二重コセットのうち、中心を除いた GL_{n+1}(F_q) 内で転置によって保存されないものの数は正確に2つであり、これにより k = 1 が得られる。
• 転置を反自己同型として用いた一般化されたゲルファンドの技法により、dim π^H ≤ k + 1 = 2 の評価が得られ、ここで k は保存されない二重コセットの数を2で割ったものである。
• q が2のべきでない場合、特性 ≠ 2 の体 F 上で (O_{n+1}(F_q), O_n(F_q)) はゲルファンド対である。これは、転置反自己同型がすべての二重コセットを保存するためである。
• 結果は、C に限らない任意の特性 ≠ 2 の代数閉体上でも成り立つため、古典的結果の適用範囲が拡張される。
• 証明は、任意の非ゼロベクトルを他の任意の非ゼロベクトルに写す対称行列が GL_n(F_q) に存在することに依拠しており、これは二重コセット代表元の上での推移的作用を保証する。