[論文レビュー] Weak Godel's incompleteness property for some decidable versions of first order logic

Mohamed Khaled|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2015

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ひとこと要約

この論文は、n変数の第一階論理の決定可能フラグメントに該当する非可換および弱化されたシリンダ代数（NCAₙおよびWCAₙ）の等式理論の決定可能性について、新たな証明を提供する。これは1985年、1991年、2013年にネーメティが提起した長年の未解決問題を解決し、これらのクラスにおけるすべての有限生成自由代数が非アトミックであることを証明することで、これらの論理における弱いゲーデルの不完全性性質を確立する。

ABSTRACT

The founding of the theory of cylindric algebras, by Alfred Tarski, was a conscious effort to create algebras out of first order predicate calculus. Let $n\inω$. The classes of non-commutative cylindric algebras ($NCA_n$) and weakened cylindric algebras ($WCA_n$) were shown, by István Németi, to be examples of decidable versions of first order logic with $n$ variables. In this article, we give new proofs for the decidability of the equational theories of these classes. We also give an answer to the open problem, posed by Németi in 1985, addressing the atomicity of the finitely generated free algebras of these classes. We prove that all the finitely generated free algebras of the varieties $NCA_n$ and $WCA_n$ are not atomic. In other words, we prove that the corresponding versions of first order logic have weak Gödel's incompleteness property.

研究の動機と目的

• NCAₙおよびWCAₙの等式理論の決定可能性について、新たな構成的証明を提供すること。これらは第一階論理の決定的フラグメントである。
• 1985年にネーメティが提起し、1991年および2013年に再確認された、NCAₙおよびWCAₙにおける有限生成自由代数のアトミック性に関する長年の未解決問題を解決すること。
• これらの自由代数における非アトミック性が、対応する論理的体系における弱いゲーデルの不完全性性質を示すこと。
• NCAₙおよびWCAₙの等式理論が、その有限メンバーによって完全に記述可能であることを示すこと。これにより、構造的および論理的整合性が強化される。

提案手法

• NCAₙおよびWCAₙの代数的性質を表現するための有限構造の列（S, Tᵢ, Eᵢⱼ）を構成し、ノード拡張およびシリンダ演算の下での閉包を用いる。
• 有限列内の各ノードvₖに対して、演算Cₖⁱʲの下で閉じた表現写像Rep(vₖ)を定義し、量化子および等価性の振る舞いをモデル化する。
• 構造Sを、新しいノードを追加し、新しい関係Tᵢ⁺, Eᵢⱼ⁺を定義することでS₊に拡張し、代数的閉包と論理的一致性を保つ。
• 複素代数ℂm(Sᵀ,ᴷ)における標準的評価eᵀを用いて、自由代数ℱrₘKにおける項と論理式を解釈する。
• 列の深さに関する帰納法を用い、自由代数内での2つの充足可能な項σ₀およびγ₀が互いに素である（σ₀·γ₀ = 0）ことを示し、非アトミック性を証明する。
• 自由代数における非アトミック性が弱いゲーデルの不完全性に相当することを活用し、代数的構造と論理的性質を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NCAₙおよびWCAₙの等式理論は決定可能であり、かつ新たな構成的手法によって証明可能か？
• RQ2 NCAₙおよびWCAₙの有限生成自由代数はアトミックか、それとも非アトミックな要素を含むか？
• RQ3 自由代数における非アトミック性は、対応する第一階論理のフラグメントにおける弱いゲーデルの不完全性性質を意味するか？
• RQ4 NCAₙおよびWCAₙの等式理論は、その有限メンバーによって完全に記述可能か？
• RQ5 量化子の非可換性および弱化された等価性公理が、これらの論理における決定可能性と不完全性を可能にする役割は何か？

主な発見

• NCAₙおよびWCAₙの等式理論は決定可能であり、有限構造の拡張および項の解析を用いた新たな構成的証明が提供される。
• NCAₙおよびWCAₙのすべての有限生成自由代数は非アトミックであり、1985年にネーメティが提起し、1991年および2013年に再確認された未解決問題が解決される。
• 自由代数における非アトミック性は、対応する論理的体系が弱いゲーデルの不完全性性質を満たすことを示す。
• NCAₙおよびWCAₙの等式理論は、その有限メンバーの等式理論と一致しており、すなわち、それらの有限代数によって生成されることを意味する。
• 自由代数ℱrₘK内に、σ₀·γ₀ = 0を満たす2つの非ゼロで互いに素な項σ₀およびγ₀が存在することは、自由代数の非アトミック性を確認する。
• 証明技法は、有限モデルの帰納的拡張および複素代数における項の評価に依拠しており、論理的一致性と代数的閉包を確立する。