[論文レビュー] Weak Hardy Spaces $WH_L^p({\mathbb R}^n)$ Associated to Operators Satisfying $k$-Davies-Gaffney Estimates

Jun Cao, Der‐Chen Chang+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2013

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$k$-Davies-Gaffney推定を満たす作用素$L$に関連する弱ハーディー空間$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$を導入し、弱分子的特徴づけを確立し、リーマン変換および分数乗根の有界性をこれらの空間間で証明する。主な貢献は、平均変動に基づくものであり、ラプラシアンでさえも以前未知であった、$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$の双対空間を同定することにある。

ABSTRACT

Let $L$ be a one-to-one operator of type $ω$ having a bounded $H_\infty$ functional calculus and satisfying the $k$-Davies-Gaffney estimates with $k\in{\mathbb N}$. In this paper, the authors introduce the weak Hardy space $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$ associated to $L$ for $p\in (0,\,1]$ via the non-tangential square function $S_L$ and establish a weak molecular characterization of $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$. Typical examples of such operators include the $2k$-order divergence form homogeneous elliptic operator $L_1:=(-1)^k\sum_{|α|=k=|β|}\partial^β(a_{α,β}\partial^α)$, where $\{a_{α,β}\}_{|α|=k=|β|}$ are complex bounded measurable functions, and the $2k$-order Schrödinger type operator $L_2:= (-Δ)^k+V^k$, where $Δ$ is the Laplacian operator and $0\le V\in L^k_{\mathop\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$. As applications, for $i\in\{1,\,2\}$ and $p\in(\frac{n}{n+k},\,1]$, the authors prove that the associated Riesz transform $ abla^k (L_i^{-1/2})$ is bounded from $WH^p_{L_i}(\mathbb{R}^n)$ to the classical weak Hardy space $WH^p(\mathbb{R}^n)$ and, for all $0

研究の動機と目的

• 作用素$L$が$k$-Davies-Gaffney推定を満たすための弱ハーディー空間$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$を定義し、その特徴づけを行うこと。
• 非接線的平方関数$S_L$を用いた、$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$の弱分子的特徴づけを確立すること。
• リーマン変換$\nabla^k L^{-1/2}$が、$p \in (\frac{n}{n+k}, 1]$に対して、$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$から古典的弱ハーディー空間$WH^p(\mathbb{R}^n)$への有界性を証明すること。
• 実補間理論を用いて、$L^2(\mathbb{R}^n) \cap WH_L^p(\mathbb{R}^n)$が、異なる$p \in (0,1]$に対する$L^2(\mathbb{R}^n) \cap H_L^p(\mathbb{R}^n)$の間の中間空間であることを示す補間定理を確立すること。
• $p \in (0,1]$に対して、$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$の双対空間を、微妙な被覆に基づく平均変動を用いて同定すること。これは、$L$がDavies-Gaffney推定を満たす非負自己随伴作用素である場合にまで拡張される。

提案手法

• 非接線的平方関数$S_L(f)(x) = \left(\int_{\Gamma(x)} |t^k \nabla^k e^{-t^{2k}L}f(y)|^2 \frac{dy\,dt}{t^{n+1}}\right)^{1/2}$を用いて、$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$を定義する。
• 作用素$L$に適した分子を構成し、大きさ、キャンセレーション、および平方関数の減衰条件を満たすことで、弱分子的特徴づけを確立する。
• 実補間理論を用いて、$p \in (0,1]$を変化させたときの$L^2(\mathbb{R}^n) \cap H_L^p(\mathbb{R}^n)$の間の補間空間として、$L^2(\mathbb{R}^n) \cap WH_L^p(\mathbb{R}^n)$が中間空間であることを示す。
• dyadic cubeと中空領域に基づく微妙な被覆の議論を用いて、平均変動空間$W\Lambda_L^{\alpha}(\mathbb{R}^n)$を定義し、それらを$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$の双対空間に関連付ける。
• 弱型推定と平方関数の支配を用いて、$\nabla^k L^{-1/2}$が$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$から$WH^p(\mathbb{R}^n)$への有界性を証明する。
• 補間と関数計算を用いて、$0 < p < r \leq 1$および$\alpha = n(1/p - 1/r)$に対して、分数乗根$L^{-\alpha/(2k)}$が$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$から$WH_L^r(\mathbb{R}^n)$への有界性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素$L$が$k$-Davies-Gaffney推定を満たす場合に、弱ハーディー空間$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$をどのように定義し、特徴づけることができるか。
• RQ2 弱分子的特徴づけ$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$とは何か、そして非接線的平方関数$S_L$とどのように関係しているか。
• RQ3 リーマン変換$\nabla^k L^{-1/2}$は、$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$から古典的弱ハーディー空間$WH^p(\mathbb{R}^n)$への有界性を示すか。その有界性が成り立つ$p$の範囲は何か。
• RQ4 $WH_L^p(\mathbb{R}^n)$の双対空間を同定できるか。その構造は平均変動を用いてどのように記述できるか。
• RQ5 実補間において、空間$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$はどのように振る舞い、どのような中間空間を生成するか。

主な発見

• リーマン変換$\nabla^k L^{-1/2}$は、すべての$p \in (\frac{n}{n+k}, 1]$に対して、$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$から$WH^p(\mathbb{R}^n)$への有界性を示す。
• 分数乗根$L^{-\alpha/(2k)}$は、$0 < p < r \leq 1$および$\alpha = n(1/p - 1/r)$に対して、$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$から$WH_L^r(\mathbb{R}^n)$への有界性を示す。
• $L^2(\mathbb{R}^n) \cap WH_L^p(\mathbb{R}^n)$は、異なる$p \in (0,1]$に対する$L^2(\mathbb{R}^n) \cap H_L^p(\mathbb{R}^n)$の間の実補間法における中間空間である。
• $p \in (0,1]$に対して、$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$の双対空間は、有界開集合の被覆に基づく平均変動を用いて定義される$W\Lambda_L^{n(1/p - 1)}(\mathbb{R}^n)$として同定される。
• ラプラシアン（$L = -\Delta$）に対しても、$WH_L^p(\mathbb{R}^n)$の双対空間が$W\Lambda_L^{n(1/p - 1)}(\mathbb{R}^n)$として新たに同定され、以前未知であったケースが解消された。
• 双対空間の特徴づけは、$\mathcal{N} > n(1/p - 1/2)$を満たす限り、パrameter $\mathcal{N}$に依存しない。これにより、$W\Lambda_L^{\alpha}(\mathbb{R}^n)$という表記は$\mathcal{N}$に依存しない。