[論文レビュー] Weak Hopf algebras and quantum groupoids

Peter Schauenburg|ArXiv.org|Apr 13, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、基底代数 $R$ がFrobenius-分離的であるとき、弱ホップ代数（量子群oids）と竹内による $ imes_R$-bialgebras の間の正確な同型を確立する。弱bialgebra がFrobenius-分離的 $R$ を持つ $ imes_R$-bialgebra と同値であることを証明し、余加群の圏の直接的な同型を示し、量子群oids理論における基礎的問題を解決するとともに、有限次元性の仮定なしに双対性およびモジュール理論をこの設定に拡張する。

ABSTRACT

We give a detailed comparison between the notion of a weak Hopf algebra (also called a quantum groupoid by Nikshych and Vainerman), and that of a $ imes_R$-bialgebra due to Takeuchi (and also called a bialgebroid or quantum (semi)groupoid by Lu and Xu). A weak bialgebra is the same thing as a $ imes_R$-bialgebra in which $R$ is Frobenius-separable. We extend the comparison to cover module and comodule theory, duality, and the question when a bialgebroid should be called a Hopf algebroid.

研究の動機と目的

• 量子群oidsの2つの競合する概念、すなわち弱bialgebra（Böhm-Szlachányi）と $ imes_R$-bialgebras（Takeuchi）の関係を明確化すること。
• 弱bialgebraが、基底代数 $R$ がFrobenius-分離的である $ imes_R$-bialgebra であることに正確に同値であることを示すこと。
• 有限次元性の仮定なしに、この枠組みにおいてモジュールおよび余加群理論、双対性、ホップアジェイド構造を拡張すること。
• 反対称性や有限次元性に依存しない、公理から直接導かれる同型を証明することで、文献における基礎的曖昧さを解消すること。

提案手法

• 弱bialgebraを、単位を保存しないが乗法的であることを満たす余乗法を備えた代数として定義し、弱化された単位的公理を満たす。
• $\times_R$-bialgebrasを、非可換基底代数 $R$ 上のbialgebra として定義し、$R$ から $H$ への2つの代数準同型（それぞれ源写像と終着写像に対応）を備える。
• 弱bialgebraの公理のみを用いて、その余単位的部分代数（源および終着）がFrobenius-分離的であることを証明する。
• 有限次元性の仮定なしに、弱bialgebra $H$ の余加群の圏と関連する $ imes_R$-bialgebra $H$ の余加群の圏との間の直接的な同型を構成する。
• 古典的ホップ代数の基準に類似した、標準的写像 $H \otimes_{H_t} H \to \Delta(1)(H \otimes H)$ を用いて弱ホップ代数を特徴付ける。
• 双対弱bialgebraの反対を用いて、$H$ の余加群の圏とその双対の間のモノイダル同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱bialgebraが $ imes_R$-bialgebra と同値であるのはどのような条件下か？
• RQ2 基底代数 $R$ のFrobenius-分離性が、$ imes_R$-bialgebra が弱bialgebra であるための十分かつ必要条件か？
• RQ3 弱bialgebraの余加群の圏は、その関連する $ imes_R$-bialgebra の余加群の圏と自然に同一視できるか？
• RQ4 弱bialgebraの双対性理論は、$ imes_R$-bialgebras のそれとどのように関係するか？
• RQ5 $\times_R$-bialgebras の枠組みの中で、弱ホップ代数はどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 弱bialgebraが $ imes_R$-bialgebra と同値であることは、基底代数 $R$ がFrobenius-分離的であることと同値である。
• 任意の弱bialgebraの余単位的部分代数（源および終着）は、反対称性の存在を仮定しなくてもFrobenius-分離的である。
• 弱bialgebra $H$ とその関連する $ imes_R$-bialgebra 間の余加群の圏の間には、有限次元性に依存しない直接的な同型が存在する。
• 弱bialgebraの左余加群の圏は、その関連する $ imes_R$-bialgebra の左余加群の圏とモノイダル同型である。
• 弱bialgebraが弱ホップ代数であることは、標準的写像 $H \otimes_{H_t} H \to \Delta(1)(H \otimes H)$ が全単射であることと同値である。
• 弱bialgebraの双対性理論は、双対弱bialgebraの反対を用いて回復可能であり、$ imes_R$-bialgebra の余加群の圏とモノイダル同型をなす。