[論文レビュー] Weak Hopf Algebras and Reducible Jones Inclusions of Depth 2. I: From Crossed products to Jones towers

Florian Nill, Kornél Szlachányi+1 more|ArXiv.org|Jun 23, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、交叉積構成を介して、可約な有限指数、深さ2のフォン・ノイマン代数の包含関係と有限次元弱C*-ホップ代数の間の対応を確立する。弱ホップ代数における正規化された正の左積分が、忠実な条件付き期待値およびジョーンズ射影を生じることを示し、それらの積分とハーガープ双対条件付き期待値を結ぶプランシュレル双対性を導入する。標準的不変量は、弱ホップ代数とその双対を含むジョーンズ三重組として実現される。

ABSTRACT

We apply the theory of finite dimensional weak C^*-Hopf algebras A as developed by G. Böhm, F. Nill and K. Szlachányi to study reducible inclusion triples of von-Neumann algebras N \subset M \subset (M\cros\A). Here M is an A-module algebra, N is the fixed point algebra and \M\cros\A is the crossed product extension. ``Weak'' means that the coproduct Δon A is non-unital, requiring various modifications of the standard definitions for (co-)actions and crossed products. We show that acting with normalized positive and nondegenerate left integrals l\in\A gives rise to faithful conditional expectations E_l: M-->N, where under certain regularity conditions this correspondence is one-to-one. Associated with such left integrals we construct ``Jones projections'' e_l\in\A obeying the Jones relations as an identity in M\cros\A. Finally, we prove that N\subset M always has finite index and depth 2 and that the basic Jones construction is given by the ideal M_1:=M e_l M \subset M\cros\A, where under appropriate conditions M_1 = M\cros\A. In a subsequent paper we will show that converseley any reducible finite index and depth-2 Jones tower of von-Neumann factors (with finite dimensional centers) arises in this way.

研究の動機と目的

• 可約な場合への非可約深さ2部分因子の分類を弱ホップ代数を用いて一般化すること。
• 可約な有限指数、深さ2のフォン・ノイマン代数の包含関係と弱C*-ホップ代数作用の間の対応を確立すること。
• 弱ホップ代数における正規化された正の左積分からジョーンズ射影と条件付き期待値を構成すること。
• 弱ホップ代数の文脈において、左積分のためのプランシュレル双対性を導入し、その特徴づけを行うこと。
• このような包含関係の標準的不変量が、弱ホップ代数とその双対を含むジョーンズ三重組として与えられることを示すこと。

提案手法

• 有限次元弱C*-ホップ代数を用いて、フォン・ノイマン代数の交叉積拡張を構成する。
• 弱ホップ代数の左作用をフォン・ノイマン代数 M に定義し、固定点代数を N = M^A とおく。
• 正規化された正の左積分 l ∈ A から、条件付き期待値 E_l(m) = l ▷ m を構成する。
• 交叉積代数 M ⋊ A 内で、e_l m e_l = E_l(m) e_l = e_l E_l(m) を満たすジョーンズ射影 e_l ∈ A を導入する。
• 双対弱ホップ代数を用いてプランシュレル双対性を定義し、l ∈ A の p-双対 λ ∈ Â が λ ↷ e_l = 1 を満たすようにする。
• N ⊂ M の基本構成が、理想 M₁ = M e_l M ⊂ M ⋊ A として与えられ、正則性条件のもとで M₁ = M ⋊ A が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可約な有限指数、深さ2のフォン・ノイマン代数の包含関係は、弱ホップ代数を用いてどのように分類可能か？
• RQ2 正規化された正の左積分は、交叉積構成において条件付き期待値およびジョーンズ射影を生成するにあたって果たす役割は何か？
• RQ3 プランシュレル双対性は、弱ホップ代数の左積分とその双対、およびハーガープ双対条件付き期待値をどのように関連付けるか？
• RQ4 N ⊂ M の基本構成が、完全な交叉積 M ⋊ A と一致するのはどのような条件下か？
• RQ5 このような包含関係の標準的不変量の構造は何か？ そして、弱ホップ代数とその双対を用いてどのように実現されるか？

主な発見

• 正規化された正で非退化な左積分 l ∈ A は、E_l(m) = l ▷ m で与えられる忠実な条件付き期待値 E_l: M → N を生じる。
• これらの積分は、交叉積代数 M ⋊ A 内で、e_l m e_l = E_l(m) e_l = e_l E_l(m) を満たすジョーンズ射影 e_l ∈ A を生成する。
• プランシュレル双対性は、l ∈ A の p-双対 λ ∈ Â が λ ↷ e_l = 1 を満たすように定義され、積分とその双対の間の双対性を確立する。
• N ⊂ M の基本構成は、理想 M₁ = M e_l M ⊂ M ⋊ A として実現され、外的作用などの正則性条件のもとで M₁ = M ⋊ A が成り立つ。
• N ⊂ M の標準的不変量は、ジョーンズ三重組 A_L ⊂ A ⊂ A ⋊ Â として与えられ、ここで A_L ≅ A ▷ 1_M ⊂ M であり、A_L は M 内の A の像と同型である。
• 部分的に内的な群作用の場合は、弱ホップ代数の構造が、ねじれ群代数 C H_z とねじれ作用 β から生じ、Δ、ε、S は式 (B.11)–(B.13) で定義され、S² = id が成り立つ。