[論文レビュー] Weak Hopf Algebras I: Integral Theory and C^*-structure

Gabriella Böhm, Florian Nill+1 more|ArXiv.org|May 26, 1998

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 60

ひとこと要約

本稿では、単位元および余単位元の公理を弱めた、コassociativeなホップ代数の一般化としての弱ホップ代数を導入し、積分理論を確立し、C*-の場合に一意なハール測度と標準的な群的元の存在を証明している。弱ホップ代数の代数的構造は、標準的副代数 $A^L$ および $A^R$ によって支配されており、半単純性、フロベニウス性、および $S^2$ の内包性が、非退化またはハール積分の存在と関連していることが示されている。

ABSTRACT

We give an introduction to the theory of weak Hopf algebras proposed recently as a coassociative alternative of weak quasi-Hopf algebras. We follow an axiomatic approach keeping as close as possible to the "classical" theory of Hopf algebras. The emphasis is put on the new structure related to the presence of canonical subalgebras A^L and A^R in any weak Hopf algebra A that play the role of non-commutative numbers in many respects. A theory of integrals is developed in which we show how the algebraic properties of A, such as the Frobenius property, or semisimplicity, or innerness of the square of the antipode, are related to the existence of non-degenerate, normalized, or Haar integrals. In case of C^*-weak Hopf algebras we prove the existence of a unique Haar measure h in A and of a canonical grouplike element g in A implementing the square of the antipode and factorizing into left and right algebra elements. Further discussion of the C^*-case will be presented in Part II.

研究の動機と目的

• 体 $K$ 上の弱ホップ代数の公理的かつ自己双対的な枠組みを構築し、古典的ホップ代数理論を一般化すること。
• 弱ホップ代数における包括的な積分理論を確立し、半単純性やフロベニウス条件といった代数的性質が、非退化またはハール積分の存在とどのように関連するかを明らかにすること。
• C*-の場合に、一意なハール測度 $h \in A$ および標準的群的元 $g \in A$ の存在を証明し、$g = g_L g_R^{-1}$、$g_L \in A^L$、$g_R \in A^R$ が成り立ち、$g$ が $S^2$ を実装することを示すこと。
• 弱ホップ代数が、特に作用素代数および量子場理論における部分因子やクロスプロダクトの文脈で、量子対称性の役割を明確にすること。
• C*-弱ホップ代数が自己双対的であり、$A^{L}A^{R}$ が $B \otimes B^{op}$ に同型な代数の直和に分解され、それらが正規化され非退化な積分を備えていることを示すこと。

提案手法

• 体 $K$ 上の弱双代数および弱ホップ代数を公理化し、余乗法が単位的でない（$\Delta(1) \neq 1 \otimes 1$）こと、余単位が弱く乗法的であること。
• 左および右の射影 $\sqcap^L$ および $\sqcap^R$ の像として得られる標準的副代数 $A^L$ および $A^R$ を定義し、非可換数に類似した役割を果たすことを示す。
• 左および右の正則作用を通じて弱ホップ代数における積分を導入し、代数的および正定性条件を用いて非退化およびハール積分を定義する。
• C*-の場合に、ハール測度 $h \in A$ の存在が正の元 $\sqcap^R(l)$ の存在と同値であり、$g = g_L g_R^{-1}$ を通じて標準的群的元 $g$ と関連することを証明する。
• 分離可能な代数 $B$ およびインデックス1の非退化汎関数 $E$ を用いて、$B \otimes B^{op}$ 上に弱ホップ代数構造を構成し、双対基底 $\{e_i\}, \{f_i\}$ を用いて $l = \sum f_i \otimes e_i$ が正規化され非退化な左積分であることを示す。
• 非退化トレース $\text{tr}$ に関する $E$ のラドン＝ニコディム導関数 $\gamma$ を用いて $\theta$ が内包的であることを保証し、これにより $S^2$ が内包的になるようにし、$B \otimes B^{op}$ 及びその双対におけるハール測度の存在条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱ホップ代数の弱められた公理、特に $\Delta(1) \neq 1 \otimes 1$ および $\varepsilon$ の弱乗法性が、標準的ホップ代数と比較して構造および表現論にどのように影響を与えるか？
• RQ2 標準的副代数 $A^L$ および $A^R$ が弱ホップ代数の代数的および積分的構造を支配する役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ3 弱ホップ代数が非退化またはハール積分を備えるための条件は何か？ そしてこれらは半単純性、フロベニウス性、および $S^2$ の内部構造とどのように関連するか？
• RQ4 C*-の場合に、一意なハール測度 $h \in A$ が存在するか？ そして、$S^2$ を実装する標準的群的元 $g$ とどのように関連するか？
• RQ5 弱ホップ代数 $B \otimes B^{op}$ を用いて、すべての有限次元C*-弱ホップ代数を実現可能か？ また、この構成におけるハール測度の存在を保証する条件は何か？

主な発見

• C*-弱ホップ代数では、一意なハール測度 $h \in A$ が存在し、正規化されており、$h = \hat{h} \circ S$ を満たし、$\varepsilon(h) = 1$ を満たす。
• 標準的群的元 $g \in A$ が存在し、$S^2(x) = g x g^{-1}$ を満たし、$g = g_L g_R^{-1}$ と因子分解され、$g_L \in A^L$、$g_R \in A^R$ であり、$g_L, g_R$ は可逆である。
• $B \otimes B^{op}$ におけるハール測度の存在は、$\sum_i f_i \gamma^2 e_i$ の可逆性と同値であり、ここで $\gamma$ は $E$ と非退化トレースに関するラドン＝ニコディム導関数である。
• $B \otimes B^{op}$ において、$\theta$ が内包的であれば $S^2$ も内包的であり、これは逆可逆ラドン＝ニコディム導関数 $\gamma$ の存在によって保証され、$S^2 = \theta \otimes \theta$ であり、$\theta(x) = \gamma x \gamma^{-1}$ である。
• 双対 $\hat{A}$ 上の左および右正則作用は、ある $\eta \in \hat{A}^R$ を用いて $\rho_R = \hat{g}_R^{1/2} \eta \eta^* \hat{g}_R^{-1/2}$ を満たし、これは $\sqcap^R(l)$ の正定性を特徴付ける。
• $A^{L}A^{R}$ は超中心 $A^L \cap A^R$ を備えた副ホップ代数であり、$B \otimes B^{op}$ に同型な弱ホップ代数の直和に分解され、それぞれが正規化され非退化な左積分 $l = \sum f_i \otimes e_i = S^2(1_{(2)})1_{(1)}$ を備えている。