[論文レビュー] Weak Hopf Algebras II: Representation theory, dimensions and the Markov trace

Gabriella Böhm, Kornél Szlachányi|ArXiv.org|Jun 8, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、弱C*-ホップ代数（WHA）の表現理論を、その有限次元ユニタリ表現の圏をモノイダルC*-圏として分析することによって拡張する。余単位が純粋でない場合の行列値次元関数を導入し、ハールおよびマーコフの条件付き期待値を用いて2つの数値的不変量Iとδを導出し、弱カック代数ではI = δが整数であることを証明する。一般の場合にはI > δとなる。

ABSTRACT

If A is a weak C^*-Hopf algebra then the category of finite dimensional unitary representations of A is a monoidal C^*-category with monoidal unit being the GNS representation D_eps associated to the counit \eps. This category has isomorphic left dual and right dual objects which leads, as usual, to the notion of dimension function. However, if \eps is not pure the dimension function is matrix valued with rows and columns labelled by the irreducibles contained in D_eps. This happens precisely when the inclusions A^L < A and A^R < A are not connected. Still there exists a trace on A which is the Markov trace for both inclusions. We derive two numerical invariants for each C^*-WHA of trivial hypercenter. These are the common indices I and δ, of the Haar, respectively Markov conditional expectations of either one of the inclusions A^{L/R} < A and Adual^{L/R} < Adual. In generic cases I > δ. In the special case of weak Kac algebras we show that I=δis an integer.

研究の動機と目的

• 弱C*-ホップ代数（WHA）の表現理論をモノイダルC*-圏として発展させること。
• 余単位εに関するGNS表現D_εの構造を分析すること、特にεが純粋でない場合に注目すること。
• 表現圏における双対対象から生じる行列値次元関数の定義とその研究。
• ハールおよびマーコフの条件付き期待値から導かれる2つの数値的不変量Iとδの導入と計算。
• I = δが成り立つ条件を特定すること、特に弱カック代数の文脈において。

提案手法

• 弱C*-ホップ代数Aの有限次元ユニタリ表現の圏を、単位としてD_εを備えたモノイダルC*-圏として構成する。
• 左および右の双対対象の双対性を用いて次元関数を定義し、εが純粋でない場合には行列値関数となる。
• εが純粋でない場合、包含A^L < AおよびA^R < Aは非連結であることが判明し、これにより行列値次元が生じる。
• A上のトレースを導入し、これにより包含A^L < AおよびA^R < Aの両方のマーコフトレースとして機能させる。
• ハールおよびマーコフの条件付き期待値のインデックスとして、共通の不変量Iとδをそれぞれ導出する。
• 理論を弱カック代数に適用し、この特別な場合にI = δが整数であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱C*-ホップ代数の表現圏は、モノイダルC*-圏としてどのように振る舞うか？
• RQ2 余単位εが純粋でない場合、次元関数の性質は何か？標準的なスカラー値の場合とはどのように異なるか？
• RQ3 数値的不変量Iとδとは何か？ハールおよびマーコフの条件付き期待値とどのように関係しているか？
• RQ4 I = δが成り立つ条件は何か？これは弱ホップ代数の構造にどのような意味を持つか？
• RQ5 弱カック代数の場合にI = δは整数となるか？これはその表現理論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 弱C*-ホップ代数Aの有限次元ユニタリ表現の圏は、モノイダル単位としてD_εを備えたモノイダルC*-圏である。
• 余単位εが純粋でない場合、次元関数は行列値となり、その行および列はD_ε内の既約表現によって添え字付けられる。
• 不変量Iとδは、包含A^L < AおよびA^R < Aにおけるハールおよびマーコフの条件付き期待値の共通インデックスとして定義される。
• 一般の場合にはインデックスIがδを上回り、包含格子における非自明な構造を示している。
• 弱カック代数では、不変量はI = δを満たし、この共通値は整数である。
• A上に、包含A^L < AおよびA^R < Aの両方のマーコフトレースとして機能するトレースが存在し、トレース構造の整合性が保証される。