[論文レビュー] Weak invariance principle for the local times of Gibbs-Markov processes

Michael Bromberg|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、平均ゼロ、非周期的、リプシッツ連続な観測量を持つ混合的で確率測度を保存するギブス・マルコフ写像から導かれる、局所時間の正規化された局所時間過程 $ l_n(x) $ について、関数的弱不変性原理を確立する。この結果、$ l_n(x) $ が標準ブラウン運動の局所時間に分布収束することを証明する。この結果は、ギブス測度を備えた有限型符号化への拡張も可能である。

ABSTRACT

The subject of this paper is to prove a functional weak invariance principle for the local time of a process generated by a Gibbs-Markov map. More precisely, let $\left(X,\mathcal{B},m,T,α ight)$ is a mixing, probability preserving Gibbs-Markov{ ormalsize{}. and let $φ\in L^{2}\left(m ight)$ be an aperiodic function with mean $0$. Set $S_{n}=\sum_{k=0}^{n}X_{k}$ and define the hitting time process $L_{n}\left(x ight)$ be the number of times $S_{k}$ hits $x\in\mathbb {Z}$ up to step $n.$ The normalized local time process $l_{n}\left(x ight)$ is defined by $ l_{n}\left(t ight)=\frac{L_{n}\left(\left\lfloor \sqrt{n}x ight floor ight)}{\sqrt{n}},\,\, x\in\mathbb{R}$. We prove under that $l_{n}\left(x ight)$ converges in distribution to the local time of the Brownian Motion. The proof also applies to the more classical setting of local times derived from a subshift of finite type endowed with a Gibbs measure.

研究の動機と目的

• ギブス・マルコフ過程の局所時間に対する関数的弱不変性原理を確立すること。
• 正規化局所時間過程 $ l_n(x) $ がブラウン運動の局所時間に分布収束することを証明すること。
• 動的系におけるギブス・マルコフ構造を有する系について、関数的中心極限定理を局所時間のレベルに拡張すること。
• $ l_n $ の部分列の収束の上限が一意に特定され、それがブラウン運動の局所時間に一致することを確認すること。

提案手法

• 正規化局所時間過程を $ l_n(x) = \frac{\#\{0 \leq k \leq n : S_k = \lfloor \sqrt{n}x \rfloor\}}{\sqrt{n}} $ と定義する。ここで $ S_k $ は $ \varphi \in L^2(m) $ の部分和である。
• 写像のスペクトル的性質を解析するために、作用素 $ \hat{T} $ とその $ L_{\infty,\beta} $ 上での準コンパクト性を用いる。
• モーメントの上限とホルダー連続性の推定を用いて、$ \mathbb{R} $ 上の右連続左極限関数のスコロホド空間における $ l_n $ のタイトネスを確立する。
• $ \nu_{\omega_n} $ を $ \int l_n(x)dx $ で近似することで、訪問測度の収束を証明し、$ \nu_{\omega_n} - \int l_n(x)dx \overset{d}{\to} 0 $ を示す。
• すべての $ g \in \bigcup_k G_k $ に対して、投影 $ \pi_g(l_n) \to \pi_g(l) $ の収束を示すことにより、 $ l_n $ の収束部分列の極限がブラウン運動の局所時間に一致することを同定する。
• スコロホド位相における訪問時間関数の連続性と、$ \omega_n \to \omega $ における関数的中心極限定理を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギブス・マルコフ系の正規化局所時間過程は、分布収束して標準ブラウン運動の局所時間に一致するか？
• RQ2 観測量 $ \varphi $ にどのような条件下で、局所時間レベルにおける関数的弱不変性原理が成立するか？
• RQ3 非周期的、平均ゼロ、リプシッツ連続な観測量を有するギブス・マルコフ力学系において、局所時間過程 $ l_n $ のタイトネスを確立できるか？
• RQ4 ブラウン運動の局所時間は $ l_n $ の唯一の弱収束極限であるか？ また、区間上の投影を用いてその同定は可能か？
• RQ5 この結果は、ギブス測度を備えた有限型符号化へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 上記の条件下で、正規化局所時間過程 $ l_n(x) $ は、標準ブラウン運動の局所時間 $ l(x) $ に分布収束する。
• モーメントの上限とホルダー連続性の推定を用いて $ l_n $ のタイトネスが確立され、右連続左極限関数の空間における相対コンパクト性が保証される。
• 訪問測度 $ \nu_{\omega_n} $ と $ l_n $ の積分との差は、分布収束でゼロに近づくため、$ l_n $ が密度近似として有効であることが確認される。
• $ l_n $ の任意の収束部分列の極限は、区間上での投影の収束を示すことにより、ほとんど確実にブラウン運動の局所時間に一致する。
• 本証明は、$ \omega_n \to \omega $ における関数的中心極限定理と、スコロホド位相における訪問時間関数の連続性に依拠している。
• 結果は、ギブス測度を備えた有限型符号化に対しても成立し、一般のギブス・マルコフ写像を超えて適用範囲を拡張できる。