[論文レビュー] Weak limit theorem for a nonlinear quantum walk

Masaya Maeda, Hironobu Sasaki+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所的な確率振幅に依存する非線形コイン演算子を備えた非線形量子ウォーク（NLQW）に対して、弱極限定理を確立する。散乱理論とスペクトル解析を用いて、スケーリングされた位置 $X_t/t$ が確率変数 $V$ に分布収束することを証明し、その密度は $\mu_V(dv) = w(v) f_K(v; |a|) \, dv$ で与えられる。ここで $w(v)$ は漸近状態 $u_+$ に依存し、$f_K$ はコンノ関数であり、線形量子ウォークの極限挙動を非線形領域に一般化する。

ABSTRACT

This paper continues the study of large time behavior of a nonlinear quantum walk begun in arXiv:1801.03214. In this paper, we provide a weak limit theorem for the distribution of the nonlinear quantum walk. The proof is based on the scattering theory of the nonlinear quantum walk and the limit distribution is obtained in terms of its asymptotic state.

研究の動機と目的

• 非線形コイン演算子に依存する振幅依存性により非ユニタリだがノルムを保存する動的を示す非線形量子ウォーク（NLQW）への弱極限定理（WLT）の線形理論からの拡張を目的とする。
• 線形ケースと同様に、NLQWにおけるスケーリングされた位置 $X_t/t$ の大時間挙動を特徴づけること。
• 散乱理論とスペクトル理論を用いて、NLQWの漸近状態 $u_+$ とウォークの速度の極限分布との間の関係を確立すること。
• 極限分布の基本密度としてのコンノ関数 $f_K(v; |a|)$ を、漸近状態に由来する重み関数 $w(v)$ で調制することにより、非線形領域への一般化を達成すること。

提案手法

• NLQW は非線形な時間発展演算子 $U = S\hat{C}$ により定義され、$\mathcal{H} = l^2(\mathbb{Z}; \mathbb{C}^2)$ 上で作用するノルムを保存する振幅依存コイン演算子 $\hat{C}$ を含む。
• 動的は $u(t+1,x) = (\hat{P}u(t))(x+1) + (\hat{Q}u(t))(x-1)$ に従い、$\hat{P}, \hat{Q}$ は $\hat{C} = \hat{P} + \hat{Q}$ が $L^2$-ノルムを保存する非線形写像である。
• 散乱理論を適用：弱い非線形性のもとで、$U(t)u_0$ は漸近状態 $u_+$ に散乱する。すなわち $t \to \infty$ のとき $\|u(t) - U_0^t u_+\| \to 0$ となる。
• スケーリングされた位置 $X_t/t$ の特性関数は $\mathbb{E}[e^{i\xi X_t/t}] = \langle U(t)u_0, e^{i\xi \hat{x}/t} U(t)u_0 \rangle$ として分析され、漸近的速さ演算子 $\hat{v}_0$ のスペクトル測度と関連づけられる。
• 漸近的速さ演算子 $\hat{v}_0$ はフーリエ変換とスペクトル分解により定義され、ブロッホ固有値 $\lambda_j(k)$ から導かれる固有値 $v_j(k)$ を持つ。
• スペクトル定理と恒等式 $G(\hat{v}_0) = \sum_{j,m} K_{j,m}^* \hat{G} K_{j,m}$ を用いて極限分布が導出され、ここで $K_{j,m}$ は速度領域への写像を定める積分作用素である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 振幅依存コイン操作を有する非線形量子ウォークにおいて、大時間における位置 $X_t$ の分布はどのように振る舞うか？
• RQ2 線形ケースと同様に、$X_t/t$ が分布収束する非線形量子ウォークの弱極限定理を確立できるか？
• RQ3 漸近状態 $u_+$ と非線形コイン構造を用いた場合、極限速度分布の関数的形はどのようなものか？
• RQ4 コンノ関数 $f_K(v; |a|)$ は非線形設定においてどのように現れるのか？また、重み関数 $w(v)$ は果たす役割は何か？

主な発見

• スケーリングされた位置 $X_t/t$ は $t \to \infty$ のとき確率変数 $V$ に分布収束する。これにより、非線形量子ウォークにおける弱極限定理が確立される。
• 極限分布 $\mu_V$ は密度 $\mu_V(dv) = w(v) f_K(v; |a|) \, dv$ を持つ。ここで $f_K$ はコンノ関数であり、$w(v)$ は漸近状態 $u_+$ に依存する。
• 重み関数 $w(v)$ は明示的に $w(v) = \frac{1}{2} \sum_{j=1,2} \sum_{m=0,1} |(K_{j,m} u_+)(v)|^2$ として与えられ、$K_{j,m}$ はフーリエ変換と逆ブロッホ波関数により定義される。
• 漸近的速さ演算子 $\hat{v}_0$ はブロッホ固有値 $\lambda_j(k)$ から構成され、そのスペクトル測度が極限分布を決定する。
• $X_t/t$ の特性関数は $\langle u_+, e^{i\xi \hat{v}_0} u_+ \rangle$ に収束し、これは $\mu_V$ の特性関数に一致する。これにより弱収束が証明される。
• 結果として、漸近状態 $u_+$ を通じた非線形性の組み込みにより、線形量子ウォーク極限定理が非線形領域に一般化され、コンノ関数が基本核として保持される。