[論文レビュー] Weak Multiplier Hopf Algebras II. The source and target algebras

Alfons Van Daele, Shuanhong Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、弱乗法的ホップ代数における源代数と標代数の構造を調査し、$ \Delta(1) $ を表す標準的イデムポテン $ E $ が、$ B = \varepsilon_s(A) $ および $ C = \varepsilon_t(A) $ とおくとき、乗法的代数 $ M(B \otimes C) $ に属し、分離イデムポテンであることを確立する。正則な弱乗法的ホップ代数に対しては、$ E $ は正則な分離イデムポテンである。この構成は、任意のこのようなイデムポテンを持つ非退化代数のペアから、弱ホップ代数を超える新しい弱乗法的ホップ代数を構成する一般化を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we continue the study of weak multiplier Hopf algebras. We recall the notions of the source and target maps $\varepsilon_s$ and $\varepsilon_t$, as well as of the source and target algebras. Then we investigate these objects further. Among other things, we show that the canonical idempotent $E$ (which is eventually $Δ(1)$) belongs to the multiplier algebra $M(B\otimes C)$ where $B=\varepsilon_s(A)$ and $C=\varepsilon_t(A)$ and that it is a separability idempotent. We also consider special cases and examples in this paper. In particular, we see how for any weak multiplier Hopf algebra, it is possible to make $C\otimes B$ (with $B$ and $C$ as above) into a new weak multiplier Hopf algebra. In a sense, it forgets the 'Hopf algebra part' of the original weak multiplier Hopf algebra and only remembers the source and target algebras. It is in turn generalized to the case of any pair of non-degenerate algebras $B$ and $C$ with a separability idempotent $E\in M(B\otimes C)$. We get another example using this theory associated to any discrete quantum group (a multiplier Hopf algebra of discrete type with a normalized cointegral). Finally we also consider the well-known 'quantization' of the groupoid that comes from an action of a group on a set. All these constructions provide interesting new examples of weak multiplier Hopf algebras (that are not weak Hopf algebras).

研究の動機と目的

• 弱乗法的ホップ代数における源代数 $ \varepsilon_s(A) $ と標代数 $ \varepsilon_t(A) $ の構造と性質を調査すること。
• $ B = \varepsilon_s(A) $, $ C = \varepsilon_t(A) $ とおくとき、$ M(B \otimes C) $ に属する標準的イデムポテン $ E $ の役割を分析し、それが分離イデムポテンであることを示すこと。
• 源代数と標代数のデータを用いて、弱乗法的ホップ代数の構成を一般化すること。
• 離散量子群や群族の量子化に言及し、非弱ホップ代数の新しい例を生み出す理論の拡張。
• 特にコインテグラルや反作用素と関連して、非正則な状況における分離イデムポテンの存在条件を調査すること。

提案手法

• 本稿は、単位元を持たない非退化代数 $ A $ と非退化なコプロダクト $ \Delta $ を持つ弱乗法的ホップ代数の枠組みを用いる。
• 源写像 $ \varepsilon_s: A \to M(A) $ と標写像 $ \varepsilon_t: A \to M(A) $ を定義し、それらの像をそれぞれ源代数 $ B = \varepsilon_s(A) $ と標代数 $ C = \varepsilon_t(A) $ とする。
• 標準的イデムポテン $ E \in M(B \otimes C) $ が、$ (E \otimes 1)(1 \otimes E) = E $ を満たすことで、分離イデムポテンであることが示される。
• 元のホップ代数構造を無視するが、源代数と標代数のデータを保持する形で、$ C \otimes B $ 上に新しい弱乗法的ホップ代数を構成する。
• 離散型の乗法的ホップ $^*$-代数に、正規化されたコインテグラルを持つ離散量子群を適用し、元が離散型の乗法的ホップ $^*$-代数であれば、弱乗法的ホップ $^*$-代数が得られる。
• 本稿は、群族作用からの構成を一般化し、分離イデムポテンを用いて、非弱ホップ代数の例を含む新しい弱乗法的ホップ代数の例を生み出す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的イデムポテン $ E $ が $ \Delta(1) $ として定義されるとき、源代数と標代数 $ B \otimes C $ の乗法的代数 $ M(B \otimes C) $ とどのように関係するか。
• RQ2 $ E \in M(B \otimes C) $ が分離イデムポテンである条件は何か。また、それが正則である条件は何か。
• RQ3 源代数と標代数および $ M(B \otimes C) $ に属する分離イデムポテンを用いて、弱乗法的ホップ代数を再構成できるか。
• RQ4 正規化されたコインテグラルを持つ離散量子群から出発した場合、新しい弱乗法的ホップ $^*$-代数を構成する上での影響は何か。
• RQ5 非正則な分離イデムポテンは存在するのか。また、それらは、イデムポテンでないコインテグラル（例：$ h^2 = 0 $ となるもの）とどのように関係するのか。

主な発見

• 標準的イデムポテン $ E $ は、$ \Delta(1) $ を表し、$ B = \varepsilon_s(A) $, $ C = \varepsilon_t(A) $ とおくとき、乗法的代数 $ M(B \otimes C) $ に属し、$ (E \otimes 1)(1 \otimes E) = E $ を満たす分離条件を満たす。
• 正則な弱乗法的ホップ代数に対しては、標準的イデムポテン $ E $ は正則な分離イデムポテンである。これは、追加の非退化性および可逆性条件を満たすことを意味する。
• 任意の非退化代数のペア $ B $ と $ C $ および $ M(B \otimes C) $ に属する分離イデムポテン $ E $ が与えられれば、$ C \otimes B $ 上に新しい弱乗法的ホップ代数を構成可能であり、元のホップ代数構造を無視する。
• 離散型の乗法的ホップ $^*$-代数に正規化されたコインテグラルを持つ離散量子群にこの構成を適用すると、元が離散型の乗法的ホップ $^*$-代数であれば、弱乗法的ホップ $^*$-代数が得られる。
• この構成は、群族の量子化に対しても適用可能であり、弱ホップ代数ではない新しい弱乗法的ホップ代数の例を生み出す。
• 本稿は、非正則な分離イデムポテンが未解決の問題であることを特定しており、特に $ h^2 = 0 $ のようなイデムポテンでないコインテグラルと関連して、その関係が重要な課題であると示している。