[論文レビュー] Weak multiplier Hopf algebras III. Integrals and duality

Alfons Van Daele, Shuanhong Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2017

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、正則な弱乗算器ホップ代数における積分と双対性を導入し、十分な積分を備えたこのような代数が、再び積分を備えた正則な弱乗算器ホップ代数である双対構造を有することを確立する。この双対性は、有限次元の弱ホップ代数および代数的量子群の既知の結果を一般化し、群札に基づく例によって図示される。

ABSTRACT

Let $(A,Δ)$ be a weak multiplier Hopf algebra. It is a pair of a non-degenerate algebra $A$, with or without identity, and a coproduct $Δ$ on $A$, satisfying certain properties. The main difference with multiplier Hopf algebras is that now, the canonical maps $T_1$ and $T_2$ on $A\otimes A$, defined by $$T_1(a\otimes b)=Δ(a)(1\otimes b) \qquad\quad ext{and}\qquad\quad T_2(c\otimes a)=(c\otimes 1)Δ(a),$$ are no longer assumed to be bijective. Also recall that a weak multiplier Hopf algebra is called regular if its antipode is a bijective map from $A$ to itself. In this paper, we introduce and study the notion of integrals on such regular weak multiplier Hopf algebras. A left integral is a non-zero linear functional on $A$ that is left invariant (in an appropriate sense). Similarly for a right integral. For a regular weak multiplier Hopf algebra $(A,Δ)$ with (sufficiently many) integrals, we construct the dual $(\widehat A,\widehatΔ)$. It is again a regular weak multiplier Hopf algebra with (sufficiently many) integrals. This duality extends the known duality of finite-dimensional weak Hopf algebras to this more general case. It also extends the duality of multiplier Hopf algebras with integrals, the so-called algebraic quantum groups. For this reason, we will sometimes call a regular weak multiplier Hopf algebra with enough integrals an algebraic quantum groupoid. We discuss the relation of our work with the work on duality for algebraic quantum groupoids by Timmermann. We also illustrate this duality with a particular example in a separate paper. In this paper, we only mention the main definitions and results for this example. However, we do consider the two natural weak multiplier Hopf algebras associated with a groupoid in detail and show that they are dual to each other in the sense of the above duality.

研究の動機と目的

• 正則な弱乗算器ホップ代数における左積分および右積分を定義し、それらを研究すること。
• 十分な積分を備えた正則な弱乗算器ホップ代数に対して、双対弱乗算器ホップ代数構造を構成すること。
• 代数的量子群および有限次元の弱ホップ代数の双対性理論を、より広い設定へ一般化すること。
• 群札に関連する二つの弱乗算器ホップ代数が、この枠組みにおいて互いに双対であることを示すこと。
• 本研究と、積分を備えた乗算器ホップバンドロイドに関するティムマントの結果との関係を明確にすること。

提案手法

• コプロダクトにおける不変性条件を満たす非ゼロの線形汎関数として左積分および右積分を定義する。
• 構造の中心的役割を果たす、$ E \in M(A \otimes A) $ における標準的イデムポテンの性質を用いて、標準的写像 $ T_1 $ および $ T_2 $ の像と核を特徴付ける。
• 積分と双対性ペアリング $ \langle f, \lambda_p \rangle = f(p) $ を用いて、双対弱乗算器ホップ代数 $ (\widehat{A}, \widehat{\Delta}) $ を構成する。
• 正則な場合に双射であるとされる反対称作用素 $ S $ を用いて双対構造を定義し、その公理を検証する。
• 群札に基づく例（$ K(G) $ および $ \mathbb{C}G $）にこの構成を適用し、ペアリングによりそれらが双対であることを示す。
• 積分を単一の忠実な積分で表すために、ラドン＝ニコディムの公式 $ \mu \diamond \mu = \mu(1)\mu $ の形を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則な弱乗算器ホップ代数において、積分はどのように定義され、特徴づけられるか？
• RQ2 正則な弱乗算器ホップ代数が、十分な積分を備えた状態で、再び積分を備えた正則な弱乗算器ホップ代数である双対構造を有するための条件は何か？
• RQ3 群札 $ G $ に関連する代数 $ K(G) $ と $ \mathbb{C}G $ の間の双対性は、一般の双対性枠組みにおいてどのように位置づけられるか？
• RQ4 この双対性と、積分を備えた乗算器ホップバンドロイドに関するティムマントの結果との関係は何か？
• RQ5 十分な積分が存在する場合に、単一の忠実な積分が保証され得るか？また、これはフロベニウス性質とどのように関係するか？

主な発見

• 十分に多くの積分を備えた正則な弱乗算器ホップ代数は、再び積分を備えた正則な弱乗算器ホップ代数である双対構造 $ (\widehat{A}, \widehat{\Delta}) $ を有する。
• この双対性は、有限次元の弱ホップ代数および代数的量子群の既知の双対性を、無限次元の設定へと拡張する。
• 群札 $ G $ に関連する二つの弱乗算器ホップ代数 $ K(G) $ および $ \mathbb{C}G $ は、ペアリング $ \langle f, \lambda_p \rangle = f(p) $ に関して互いに双対である。
• 単一の忠実な左積分が存在する場合、すべての左積分はラドン＝ニコディム要素を用いて表現可能であり、モジュラー自己同型は適切に定義される。
• 正の積分を備えた弱乗算器ホップ $^*$-代数の双対は、$^*$-構造と正の積分を継承することが期待され、ヒルベルト空間への埋め込みが可能になる。
• 非正則な場合については理論が未解決であり、ベース代数のフロベニウス性質が単一の忠実な積分の存在を保証する役割を果たすと予想される。