[論文レビュー] Weak Multiplier Hopf Algebras. The main theory

Alfons Van Daele, Shuanhong Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、単位元を持たない非退化で冪等な代数上に定義された、双代数的構造の一般化として弱乗法的ホップ代数を導入する。ここで、コプロダクトは、$ M(A\otimes A) $ に属する標準的冪等元 $ E $ を用いて、コアソシエーションを満たす。主な貢献は、一意的な反体（antipode）の構成と、完全な双対性理論の確立であり、弱ホップ代数は特別な場合であり、群oids代数は弱乗法的ホップ代数の双対ペアを生じる。

ABSTRACT

A weak multiplier Hopf algebra is a pair (A,Δ) of a non-degenerate idempotent algebra A and a coproduct $Δ$ on A. The coproduct is a coassociative homomorphism from A to the multiplier algebra M(A\otimes A) with some natural extra properties (like the existence of a counit). Further we impose extra but natural conditions on the ranges and the kernels of the canonical maps T_1 and T_2 defined from A\otimes A to M(A\otimes A) by T_1(a\otimes b)=Δ(a)(1\otimes b) and T_2(a\ot b)=(a\otimes 1)Δ(b). The first condition is about the ranges of these maps. It is assumed that there exists an idempotent element E\in M(A\otimes A) such that Δ(A)(1\ot A)=E(A\ot A) and (A\otimes 1)Δ(A)=(A\otimes A)E. The second condition determines the behavior of the coproduct on the legs of E. We require (Δ\otimes ι)(E)=(ι\otimesΔ)(E)=(1\otimes E)(E\ot 1)=(E\otimes 1)(1\otimes E) where $ι$ is the identity map and where $Δ\otimes ι$ and $ι\otimesΔ$ are extensions to the multipier algebra M(A\otimes A). Finally, the last condition determines the kernels of the canonical maps T_1 and T_2 in terms of this idempotent E by a very specific relation. From these conditions we develop the theory. In particular, we construct a unique antipode satisfying the expected properties and various other data. Special attention is given to the regular case (that is when the antipode is bijective) and the case of a *-algebra (where regularity is automatic). Weak Hopf algebras are special cases of such weak multiplier Hopf algebras. Conversely, if the underlying algebra of a (regular) weak multiplier Hopf algebra has an identity, it is a weak Hopf algebra. Also any groupoid, finite or not, yields two weak multiplier Hopf algebras in duality.

研究の動機と目的

• 標準的写像 $ T_1 $ および $ T_2 $ の全単射性を緩和することで、乗法的ホップ代数と弱ホップ代数を一般化し、単位元を持たない非退化代数を許容する。
• 標準的冪等元 $ E \in M(A\otimes A) $ を用いて、$ T_1 $ および $ T_2 $ の像と核を特徴づけることで、ホップに類似した構造である弱乗法的ホップ代数の新しいクラスを定義する。全単射性の代わりに、像と核に関する特定の条件を導入する。
• 基底代数に単位元が存在しない場合でも、標準的な反体恒等式を満たす全単射反体 $ S $ の存在と一意性を確立する。
• 反体 $ S $ が全単射である正則な弱乗法的ホップ代数について、その逆代数（opposite algebra）が再び弱乗法的ホップ代数の構造を持つこと、および群oids代数が自然にこのような構造の双対ペアを生じることを示す。
• 単位元のない状況においても、ホップ代数理論を拡張する枠組みを提供し、非単位的状況における双対性および双対性定理を確立する。

提案手法

• 弱乗法的ホップ代数を、非退化かつ冪等な代数 $ A $ と、$ \Delta: A \to M(A\otimes A) $ であるコアソシエーションを満たすホモモーフィズムのペア $ (A, \Delta) $ として定義する。ここで、$ E \in M(A\otimes A) $ である標準的冪等元を用いて、像と核に関する条件を規定する。
• 像条件 $ \Delta(A)(1\otimes A) = E(A\otimes A) $ および $ (A\otimes 1)\Delta(A) = (A\otimes A)E $ を課し、$ E $ が一意的であり、$ T_1 $ および $ T_2 $ の像を特徴づけることを保証する。
• コアソシエーション条件 $ (\Delta \otimes \iota)\Delta = (\iota \otimes \Delta)\Delta $ を、乗法的代数へ拡張する。$ \Delta $ は $ M(A) \to M(A\otimes A) $ に拡張され、$ \Delta(1) = E $ を満たす。
• 標準的冪等元 $ E $ を用いて核条件を導入し、$ T_1 $ および $ T_2 $ の核が、$ E $ によって定義される左および右零化部分代数と正確に一致することを保証することで、公理的構造を完成させる。
• 反体 $ S: A \to A $ を構成し、$ \Delta(a)(1\otimes S(a)) = \varepsilon(a)(1\otimes 1) $ および $ (S(a)\otimes 1)\Delta(a) = \varepsilon(a)(1\otimes 1) $ を乗法的意味で満たすようにする。ここで $ \varepsilon $ は余単位である。
• 定理2.9の別表現を用いて、$ S $ が全単射である場合、同じ $ \Delta $ を持つ逆代数 $ A^{\text{op}} $ が弱乗法的ホップ代数の構造を持つことを確認する。このとき反体は $ S^{-1} $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的写像の全単射性を、標準的冪底元 $ E $ を用いた像と核に関する条件に置き換えることで、乗法的ホップ代数の理論を単位元を持たない代数へ一般化する方法は何か？
• RQ2 代数 $ A $ に単位元が存在しない状況でも、コプロダクト $ \Delta $ および標準的写像 $ T_1, T_2 $ にどのような条件を課すと、コアソシエーションと一意的な反体の存在が保証されるか？
• RQ3 弱乗法的ホップ代数 $ (A, \Delta) $ が正則（$ S $ が全単射）であるとき、その逆代数 $ A^{\text{op}} $ はどのような条件下で再び弱乗法的ホップ代数の構造を持つのか？
• RQ4 弱ホップ代数および群oids代数は、この一般化された枠組みにおいてどのように位置づけられるか。また、どのような双対性関係が生じるか？
• RQ5 代数 $ A $ に単位元が存在しない状況においても、反体が一意的に構成され、標準的な反体恒等式を満たすことができるか？

主な発見

• 一意的な標準的冪底元 $ E \in M(A\otimes A) $ が存在し、$ \Delta(A)(1\otimes A) = E(A\otimes A) $ および $ (A\otimes 1)\Delta(A) = (A\otimes A)E $ を満たす。これにより、標準的写像 $ T_1 $ および $ T_2 $ の像が特徴づけられる。
• コプロダクト $ \Delta $ は、$ \Delta(1) = E $ を満たすように、一意的に $ M(A) \to M(A\otimes A) $ に拡張可能であり、これは乗法的ホップ代数の拡張を一般化する。
• 反体 $ S $ は存在し、一意的であり、$ A $ に単位元がなくても、乗法的意味での標準的反体恒等式を満たす。
• 標準的冪底元 $ E $ は、二重特徴方程式 $ (\Delta \otimes \iota)(E) = (\iota \otimes \Delta)(E) = (1\otimes E)(E\otimes 1) = (E\otimes 1)(1\otimes E) $ を満たし、コアソシエーションおよびコプロダクトとの整合性を保証する。
• 正則な場合（$ S $ が全単射）には、同じ $ \Delta $ を持つ逆代数 $ A^{\text{op}} $ も再び弱乗法的ホップ代数の構造を持つ。反体は $ S^{-1} $ であり、逆代数の構成が閉じていることを示す。
• 弱ホップ代数は弱乗法的ホップ代数の特別な場合である。正則な弱乗法的ホップ代数の基底代数に単位元が存在する場合、それは弱ホップ代数である。
• 群oids代数（有限または無限）は自然に弱乗法的ホップ代数の双対ペアを生じる。これにより、豊富な例の供給が得られる。