[論文レビュー] Weak Nil Clean Rings

Dhiren Kumar Basnet, Jayanta Bhattacharyya|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Rings, Modules, and Algebras参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の元が冪零元と冪等元の和または差として表せる環である弱冪零清浄環——nil clean環と弱く清浄な環の一般化——を導入する。$ℚ_n$ が弱冪零清浄だがnil清浄でないものすべての特徴付けを行い、弱*冪零清浄環が交換環であることを証明し、2が冪零であれば強く冪零清浄であることを示す。さらに、J-清浄環の一般化として弱J-清浄環を導入し、基本的な持ち上げおよび分解性質を確立する。

ABSTRACT

We introduce the concept of a weak nil clean ring, a generalization of nil clean ring, which is nothing but a ring with unity in which every element can be expressed as sum or difference of a nilpotent and an idempotent. Further if the idempotent and nilpotent commute the ring is called weak* nil clean. We characterize all $n\in \mathbb{N}$, for which $\mathbb{Z}_n$ is weak nil clean but not nil clean. We show that if $R$ is a weak* nil clean and $e$ is an idempotent in $R$, then the corner ring $eRe$ is also weak* nil clean. Also we discuss $S$-weak nil clean rings and their properties, where $S$ is a set of idempotents and show that if $S=\{0, 1\}$, then a $S$-weak nil clean ring contains a unique maximal ideal. Finally we show that weak* nil clean rings are exchange rings and strongly nil clean rings provided $2\in R$ is nilpotent in the later case. We have ended the paper with introduction of weak J-clean rings.

研究の動機と目的

• nil清浄環と弱く清浄な環を一般化するために、任意の元が冪零元と冪等元の和または差として表せる弱冪零清浄環を導入すること。
• $\mathbb{Z}_n$ が弱冪零清浄だがnil清浄でないようなすべての $n \in \mathbb{N}$ を特徴付けること。
• $S$ を冪等元の集合とする $S$-弱冪零清浄環を考察し、特に $S = \{0,1\}$ の場合に、その環が唯一の極大イデアルを持つことを示すこと。
• 弱*冪零清浄環と交換環との関係を確立し、2が冪零であれば弱*冪零清浄環が強く冪零清浄であることを示すこと。
• J-清浄環の一般化として弱J-清浄環を導入し、[3]の問題5に触発されてその研究を開始すること。

提案手法

• 任意の元が $n \pm e$ の形で表せる環として弱冪零清浄環を定義する。ここで $n$ は冪零、$e$ は冪等。
• 冪零元と冪等元が可換であることを要求することで弱*冪零清浄環を定義する。
• 準同型像および直積構成を用いて閉包性質および構造的性質を分析する。
• もし $R$ が弱*冪零清浄で $2 \in \operatorname{Nil}(R)$ であれば、$R$ は強く冪零清浄であることを、加群分解と自己準同型の持ち上げを用いて証明する。
• $S \subseteq \operatorname{Idem}(R)$ を部分集合とする $S$-弱冪零清浄環を定義し、$S = \{0,1\}$ のとき、その環が唯一の極大イデアルを持つことを示す。
• 分解 $a = j \pm e$（$j \in J(R)$、$e$ が冪等）により弱J-清浄環を定義し、持ち上げ性質およびコーナー環の閉包性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの自然数 $n$ に対して $\mathbb{Z}_n$ が弱冪零清浄だがnil清浄でないか？
• RQ2 $S$-弱冪零清浄環がどのような構造的性質を持つのか、特に $S = \{0,1\}$ の場合に。
• RQ3 弱*冪零清浄環が強く冪零清浄になる条件は何か？
• RQ4 弱*冪零清浄環は交換環および強く冪零清浄環とどのように関係するか？
• RQ5 弱J-清浄環の持ち上げ性質およびコーナー環の性質は何か？

主な発見

• $\mathbb{Z}_n$ が弱冪零清浄だがnil清浄でないようなすべての $n \in \mathbb{N}$ を特徴付け、完全な分類を提供した。
• 弱*冪零清浄環 $R$ で $2 \in \operatorname{Nil}(R)$ であれば、$R$ は強く冪零清浄である。これは弱*冪零清浄環と強く冪零清浄環との間の重要な関係を確立する。
• 弱*冪零清浄環 $R$ に対して、任意の冪等元 $e \in R$ について、コーナー環 $eRe$ も弱*冪零清浄である。これはコーナー環制限において性質が保存されることを示す。
• $S = \{0,1\}$ のとき、$S$-弱冪零清浄環は唯一の極大イデアルを持つ。これは可換な弱く冪零清浄環に関する結果を一般化する。
• 弱*冪零清浄環は交換環であり、$2 \in \operatorname{Nil}(R)$ であれば強く冪零清浄である。これは強い構造的制約を示す。
• 本稿では弱J-清浄環を導入し、$R/J(R)$ がブール環であり、$J(R)$ を法として冪等元が弱く持ち上がるならば、$R$ は弱J-清浄であることを証明した。これは新たな持ち上げ条件を提供する。