[論文レビュー] Weak normality of families of meromorphic mappings and bubbling in higher dimensions

S. Ivashkovich, Fethi Neji|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2011

Meromorphic and Entire Functions参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素多様体間のメラモーフィック写像族の弱収束およびガンマ収束を調査し、特定の条件下でその正規性集合が擬強凸であることを証明する。例外的成分が弱／ガンマ極限において有理的連結であることが特定され、これは強い収束の失敗を検出可能にする。さらに、コンパクト複素表面上のメラモーフィック自己写像のファトウ集合への応用が提示される。

ABSTRACT

Minor corrections, to appear in Annali SNS.

研究の動機と目的

• 異なる収束型におけるメラモーフィック写像族の正規性集合が擬強凸であるかどうかを特定すること。
• 強い収束に失敗する弱収束およびガンマ収束列から生じる例外的成分の構造を分析すること。
• 極限成分の幾何的性質を用いて、強い収束の失敗を特徴づけること。
• 得られた結果を、コンパクト複素表面上のメラモーフィック自己写像の力学に応用し、特にファトウ集合と関連して考察すること。

提案手法

• 強収束、弱収束（w収束）、ガンマ収束（Γ収束）の3種類の収束型を導入・比較し、それらの位相的および幾何的性質に注目する。
• 収束の挙動を分析するために、ハウスドルフ距離におけるグラフ収束とサイクル位相を用いる。
• 同次座標による射影的表現を用いて、局所正則代表元の一様収束として収束を記述する。
• 除数の逆像における体積の上限と、ケーラー形式の引き戻しの積分を用いて、極限におけるバブル現象および非退化性を検出する。
• 特異点における吹き上げを分析することで、特にノリストリングの文脈において、例外的曲線上の力学的挙動を研究する。
• 高次元の有理写像の具体例（高次元）を用いて、バブル現象および非自明な極限構造を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱収束またはガンマ収束するメラモーフィック写像族の正規性集合は、擬強凸であるか？
• RQ2 弱／ガンマ極限における例外的成分が有する幾何的構造は何か？
• RQ3 弱収束またはガンマ収束列が強い収束に失敗する条件は何か？
• RQ4 メラモーフィック写像の極限においてバブル現象はどのように現れるのか？そしてそれは力学的挙動に何を意味するか？
• RQ5 メラモーフィック自己写像のファトウ集合は、強い正規性集合または弱正規性集合とどの程度一致するか？

主な発見

• 弱収束およびガンマ収束における正規性集合は、広いクラスの終域多様体に対して擬強凸である。
• 弱収束およびガンマ収束における例外的成分は、有理的連結である。これは、強い収束の失敗を特徴づける。
• ケーラー形式の引き戻しが非退化な全質量を持つ場合、引き戻し自体が退化していてもバブル現象が生じる。
• 次数dの写像の例では、ケーラー形式の引き戻しの積分が0から離れていることが保証され、ディスク上での持続的バブル現象を示している。
• 特異点の反復的吹き上げにより、有理曲線からなるノリストリングが現れ、写像は最終的な例外的曲線を、重複度付きの直線に双方向に写す。
• 代数的安定写像では、マエガワの結果により、ファトウ集合は強い正規性集合と一致する。