[論文レビュー] Weak Omega Categories I

Carl A. Futia|ArXiv.org|Apr 11, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、反図式的で、部分的に定義された合成演算を備えたωマグマのスパンに基づく、弱いωカテゴリの概念的に単純な理論を提案する。この理論では、同調性は厳密なωカテゴリへのスパンによって強制される。主な貢献は、Baez-Dolanの安定化仮説が定義そのものから直接導かれる点であり、この枠組みは双カテゴリ、厳密なωカテゴリ、Penonの弱いωカテゴリを自然に一般化する。また、低次元ではカテゴリカル同値に還元される弱い同値の概念を定義する。

ABSTRACT

We develop a theory of weak omega categories that will be accessible to anyone who is familiar with the language of categories and functors and who has encountered the definition of a strict 2-category. The most remarkable feature of this theory is its simplicity. We build upon an idea due to Jacques Penon by defining a weak omega category to be a span of omega magmas with certain properties. (An omega magma is a reflexive, globular set with a system of partially defined, binary composition operations which respects the globular structure.) Categories, bicategories, strict omega categories and Penon's weak omega categories are all instances of our weak omega categories. We offer a heuristic argument to justify the claim that Batanin's weak omega categories also fit into our framework. We show that the Baez-Dolan stabilization hypothesis is a direct consequence of our definition of weak omega categories. We define a natural notion of a pseudo-functor between weak omega categories and show that it includes the classical notion of a homomorphism between bicategories. In any weak omega category the operation of composition with a fixed 1-cell defines such a pseudo-functor. Finally, we define a notion of weak equivalence between weak omega categories which generalizes the standard definition of an equivalence between ordinary categories.

研究の動機と目的

• オペラッドやモノイドといった高度な道具を用いずに、弱いωカテゴリの新しい、アクセスしやすい理論を構築すること。
• 双カテゴリ、厳密なωカテゴリ、Penonの弱いωカテゴリといった既存の概念を統一的な枠組み内で一般化すること。
• Baez-Dolanの安定化仮説が、提案された定義から直接導かれるべきであることを示すこと。
• 古典的な双カテゴリ間のホモモーティズムを含む、弱いωカテゴリ間の自然な一般化である擬関手の概念を定義すること。
• 低次元では標準的な概念に還元される、弱い同値の自然な概念を導入すること。

提案手法

• ωマグマを、図式的構造を尊重する部分的に定義された二項合成演算を備えた、反射的で図式的な集合として定義する。
• 弱いωカテゴリを、カテゴリから厳密なωカテゴリへのωマグマのスパンとして定義し、特定の同調性公理を満たすものとする。
• Penonのアイデアである、弱い構造をスパンで表現することで、厳密な等式ではなく同値性による同調性を符号化する。
• 古典的な双カテゴリ間の擬関手の自然な一般化として、「いとし」ω擬関手を導入する。
• すべての関連する細胞について、パス圏（ΠF および ΠF(a,b)）に誘導される写像が同型であることで、弱い同値を定義する。
• 固定された1-セルとの合成が、「いとし」ω擬関手を定義することを確立し、古典的な振る舞いを一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オペラッドやモノイドに依存せずに、弱いωカテゴリの単純でアクセスしやすい理論を構築できるか？
• RQ2 Baez-Dolanの安定化仮説は、弱いωカテゴリの新しい定義から自然に導かれるか？
• RQ3 ωマグマのスパンの枠組みは、双カテゴリーやPenonの弱いωカテゴリといった既知の例を捉えられるか？
• RQ4 古典的な双カテゴリ的関手を含む、一般化された擬関手の概念をどのように定義できるか？
• RQ5 この文脈における弱い同値とは何か？ そして、低次元では標準的な概念に還元されるか？

主な発見

• Baez-Dolanの安定化仮説は、弱いωカテゴリの提案された定義の直接的結果である。
• 「いとし」ω擬関手の圏は、すべてのnについてn-スケルタルな弱いωカテゴリの全部分圏を含み、弱いωカテゴリの圏そのものを部分圏として含む。
• 弱いωカテゴリにおける固定された1-セルとの合成は、「いとし」ω擬関手を定義し、古典的な振る舞いを一般化する。
• 1-スケルタルな弱いωカテゴリ間の弱い同値は、それらの下位1-圏におけるカテゴリカル同値を誘導する。同様に2-スケルタルな場合にも成り立つ。
• ω同値は、パス圏への誘導写像が同型であることで特徴づけられ、内部同値（例えば、単位セルとの合成）はω同値である。
• i-セルが内部同値であれば、それに関連するω擬関手はω同値である。これは、期待されるカテゴリカルな振る舞いと整合していることを確認する。