[論文レビュー] Weak Rigidity Theory and its Application to Multi-agent Formation Stabilization

Gangshan Jing, Guofeng Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2018

Structural Analysis and Optimization参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、距離ではなく、2者間の相対位置ベクトルの内積を用いることで、より少ない制約で多エージェントの形状を安定化する弱剛性理論を導入する。この理論により、通信不要で分散型の制御が可能となり、GPS非利用環境下でも安定した形状制御が実現される。最小限のセンシング要件のもとで、勾配ベースおよび非勾配ベースの制御則を提案し、感応グラフが剛性でない場合でさえ、局所的指数的安定性を保証する。

ABSTRACT

This paper introduces the notion of weak rigidity to characterize a framework by pairwise inner products of inter-agent displacements. Compared to distance-based rigidity, weak rigidity requires fewer constrained edges in the graph to determine a geometric shape in an arbitrarily dimensional space. A necessary and sufficient graphical condition for infinitesimal weak rigidity of planar frameworks is derived. As an application of the proposed weak rigidity theory, a gradient based control law and a non-gradient based control law are designed for a group of single-integrator modeled agents to stabilize a desired formation shape, respectively. Using the gradient control law, we prove that an infinitesimally weakly rigid formation is locally exponentially stable. In particular, if the number of agents is one greater than the dimension of the space, a minimally infinitesimally weakly rigid formation is almost globally asymptotically stable. In the literature of rigid formation, the sensing graph is always required to be rigid. Using the non-gradient control law based on weak rigidity theory, the sensing graph is unnecessary to be rigid for local exponential stability of the formation. A numerical simulation is performed for illustrating effectiveness of our main results.

研究の動機と目的

• グローバルな位置測位やエージェント間通信が不可能なGPS非利用環境下で、多エージェントの形状を安定化する課題に取り組む。
• 距離に基づく剛性理論の限界を克服する。距離ベースの剛性理論は、剛性な感応グラフとグローバル座標系を必要とする。
• 各エージェントの局所座標系における相対位置測定のみに依存する分散型形状制御戦略を開発する。
• 平面における無限小的弱剛性のための図形的条件を確立し、形状安定性の効率的検証を可能にする。
• 感応グラフが剛性でない場合でさえ、局所的指数的安定性を保証する制御則を設計し、ネットワーク情報量とシステムコストを低減する。

提案手法

• 2者間の相対位置ベクトルのペアワイズ内積を用いて、距離ベースの剛性よりも制約が少ない幾何的形状を捉える弱剛性のフレームワークを提案する。
• 三角形に基づくエッジ集合と弱剛性行列のランク解析を用いて、平面における無限小的弱剛性の必要十分な図形的条件を導出する。
• 内積のずれに基づくコスト関数を用いた勾配ベースの制御則を設計し、局所的指数的安定性を保証するように利得行列を選択する。
• 非勾配制御則を提案し、剛性でない感応グラフに対しても形状を安定化可能であり、剛性なグラフを必要とせず、通信負荷を低減する。
• 行列補完とランク解析を用いて無限小的弱剛性を検証し、特に弱剛性条件を捉える行列 $ \bar{R}_w^* $ のランクに注目する。
• 正六角形を形成する6エージェント系を用いた数値シミュレーションを実施。感応グラフとしてパスグラフを用い、理論的結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル座標系やエージェント間通信を必要とせず、局所座標系における相対位置測定のみで形状を安定化できるか？
• RQ2 平面におけるフレームワークが無限小的弱剛性であることを保証するために必要な最小限の制約（位置ベクトルの内積の組み合わせ）は何か？
• RQ3 弱剛性と距離ベースの剛性とを比較した場合、必要なグラフの接続性と制約数の違いは何か？
• RQ4 感応グラフが剛性でない場合でも、非勾配制御則を用いることで、所望の形状の局所的指数的安定性を達成できるか？
• RQ5 非勾配制御スキームにおいて、利得行列にどのような条件を課すと指数的安定性が保証されるか？

主な発見

• 三角形に基づくエッジ集合を用いた図形的条件を導出し、剛性行列のランク計算を避けて、平面における無限小的弱剛性の必要十分条件を効率的に検証可能である。
• 勾配ベースの制御則において、無限小的弱剛性形状は局所的指数的安定であり、ヤコビ行列の固有値解析により収束が確認された。
• エージェント数が空間の次元より1つ多い場合（例：2次元空間における3エージェント）、最小限の無限小的弱剛性形状はほぼグローバル漸近的安定性を達成する。
• 非勾配制御則は、感応グラフが剛性でない場合でも局所的指数的安定性を達成しており、弱剛性が距離ベースの剛性よりも十分かつ緩い条件であることを示している。
• シミュレーションでは、非対称利得行列 $ K $ を用いた場合、ヤコビ行列 $ J^* $ の固有値は、3つのゼロ固有値を除き、すべて開左半平面に位置しており、局所的指数的安定性が確認された。
• 数値結果から、内積のずれに基づくコスト関数 $ V $ が指数的にゼロに収束し、エッジ長さが所望の値2に収束することが示され、制御則の性能が妥当であることが検証された。