[論文レビュー] Weak solution for compressible fluid models of Korteweg type

Boris Haspot|ArXiv.org|Mar 13, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元および2次元空間における圧縮性等温Korteweg流体モデルに対して、真空制御（$1/\rho$ の有界性）を仮定せずに、グローバルな弱解の存在を確立する。$N=1$ の場合、分数ラプラシアンの推定とコンパクト性の議論を用いた新たな微分の増幅により、エネルギー空間における有限時刻での強収束を証明する。一方、$N=2$ の場合、グローバル存在には $1/\rho \in L^\infty$ の仮定が必要となる。

ABSTRACT

This work is devoted to proving existence of global weak solutions for a general isothermal model of capillary fluids derived by J.E Dunn and J.Serrin (1985) \cite{3DS}, which can be used as a phase transition model. We distinguish two cases when the dimension N=2 and N=1, in the first case we need that $\frac{1}ρ\in L^{\infty}$, when N=1 we get a weak solution in finite time in the energy space.

研究の動機と目的

• キャピラリティを有する一般化された等温Korteweg流体モデルに対する弱解のグローバル存在を確立すること。
• 従来の研究で必要とされていた $1/\rho \in L^\infty$（真空制御）という制限的な仮定を、存在理論から除去すること。
• 1次元の場合に、近似解のエネルギー空間における有限時刻での強収束を、洗練された正則性推定を用いて証明すること。
• Orlicz空間と分数階ソボレフ埋め込みを用いて、非線形キャピラリティ項 $\kappa\rho\nabla\Delta\rho$ を取り扱うための新しいアプローチを開発すること。

提案手法

• 弱形式でKorteweg方程式 (1.1) を満たす近似解 $(\rho_n, u_n)$ の使用。
• Orlicz空間におけるエネルギー推定を用いて、$\Pi(\rho)$ 項と $\nabla\rho$ 項を制御すること。
• 分数ラプラシアン $\Lambda^s$（$0 < s \leq 1$）を用いて $\rho^2$ における正則性の増幅を達成し、$\partial_x\rho \otimes \partial_x\rho$ の制御を可能にする。
• Sobolev埋め込みおよび合成定理を用いて、$\rho^2 \in L^\infty(H^1)$ および $s < 1/2$ のとき $\Lambda^s\rho^2 \in L^\infty(L^\infty)$ を示すこと。
• Aubin-Lionsの補題とDiniの定理を用いて、$\partial_x\rho_n$ の $L^2$ における一様収束を証明し、切り上げ関数を用いて真空の制御を行うこと。
• コンパクト性の議論を $\phi \partial_x\rho_n$（$\phi \in C_0^\infty$）に対して適用し、非線形項における極限の通り抜けを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真空制御（$1/\rho \in L^\infty$）を仮定しないで、Korteweg系に対してグローバルな弱解が存在しうるか？
• RQ2 1次元の場合に、分数ラプラシアン推定を用いることで $\rho$ にどの程度の正則性の増幅が達成できるか？
• RQ3 真空が存在する状況下で、$\partial_x\rho_n$ のコンパクト性をどのように確立できるか？
• RQ4 $\rho$ に対する $L^\infty$ 制御なしに、分布的極限においてキャピラリティ項 $\kappa\rho\nabla\Delta\rho$ を取り扱えるか？
• RQ5 初期データにどのような条件を課えると、$N=1$ の場合にエネルギー空間における近似解の強収束が保証されるか？

主な発見

• 次元 $N=1$ の場合、$1/\rho \in L^\infty$ を仮定せず、$\Lambda^s$ 推定による微分の増幅を用いて、有限時刻 $(0,T)$ における弱解の存在を証明する。
• $N=1$ の場合、エネルギー空間の初期データの仮定のもとで、列 $\partial_x\rho_n$ が $L^2(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ において $\partial_x\rho$ に強く収束することを示す。
• 本稿では、$\rho \in L^\infty(H^1)$ および $0 < s < 1/2$ のとき $\Lambda^s\rho^2 \in L^\infty(L^\infty)$ であることを示し、非線形項 $\int |\partial_x\rho|^2 |\Lambda^s\rho^2|$ の制御を可能にする。
• 初期データが小さい場合、$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ においてグローバル存在を証明し、$\partial_x\rho_n$ が $L^2(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ において $\partial_x\rho$ に強く収束することを示す。
• 真空は切り上げ関数とDiniの定理を用いて取り扱い、$\|\partial_x\rho_n\|_{L^2}$ が無限大から一様に離れていることを示す。
• $N=2$ の場合、追加的に $1/\rho \in L^\infty$ を仮定することでグローバル存在が確立されるが、これは1次元の場合に必要な条件ではない。