[論文レビュー] Weak solutions for a system of quasilinear elliptic equations

M. A. Ragusa, A. Razani|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、p-Laplacian および q-Laplacian を含む、ℝᴺ 上の非線形楕円型方程式系に対して、変分法と O(N) 群による不変性を用いて、径対称弱解の無限大列の存在を確立する。主な結果は、非線形項および重み関数の適切な成長・可積分性条件のもとで、パラメータ λ のある範囲において、ノルムで発散する解の列と、ゼロに弱収束する解の列が存在することである。

ABSTRACT

A system of quasilinear elliptic equations on an unbounded domain is considered. The existence of a sequence of radially symmetric weak solutions is proved via variational methods.

研究の動機と目的

• 非有界領域における p-Laplacian および q-Laplacian を含む非線形楕円型方程式系の弱解の存在を確立すること。
• Sobolev 空間における直交群 O(N) の作用を用いて径対称性の文脈で問題を分析すること。
• 径対称関数の空間において変分法を適用し、弱解に対応する臨界点を同定すること。
• 解の列が Sobolev 空間内で無限大に発散するか、ゼロに弱収束する条件を特定すること。
• コンパクト埋め込みと群不変性を用いて、非有界領域における臨界点理論の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $ I_\nu $ を、$ p,q > N > 1 $ を満たす空間 $ W^{1,p}(\rN) \times W^{1,q}(\rN) $ 上に定義することで変分枠組みを用いる。
• 直交群 $ O(N) $ の作用により径対称性を課し、径対称関数の部分空間 $ X = W^{1,p}_r(\rN) \times W^{1,q}_r(\rN) $ に問題を制限する。
• Palais の対称的臨界点原理を適用し、不変部分空間に制限された汎関数の臨界点が、全空間における臨界点であることを保証する。
• 有界列に対して逐次コンパクト性を保証する、$ W^{1,p}_r(\rN) $ から $ L^\f{\rN} $ へのコンパクト埋め込み結果（定理 1.5）を用いる。
• コンパクトな台を持つテスト列 $ (H_{1n}, H_{2n}) $ を構成し、そのノルムを制御することで、$ I_\nu(H_{1n}, H_{2n}) \to -\infty $ を示し、汎関数が下に無限大に発散することを示す。
• 臨界点定理（定理 2.1）を適用し、$ X $ 内に無限大列の臨界点が存在することを導き、それが方程式系の弱解であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形楕円型方程式系が $ \mathbb{R}^N $ 上の p-Laplacian および q-Laplacian を含むとき、径対称弱解の列が存在するための条件は何か？
• RQ2 非線形項 $ f_1, f_2 $、重み関数 $ \alpha_1, \alpha_2 $、およびパラメータ $ \lambda $ の相互作用が、解の存在および挙動にどのように影響するか？
• RQ3 変分法が非有界領域において、無限大に発散するか、ゼロに弱収束する解を効果的に得るために適用可能か？
• RQ4 汎関数の O(N)-不変性および関連する群作用が、問題をコンパクトな設定に還元するために果たす役割は何か？
• RQ5 非線形項 $ f_1, f_2 $ の成長および $ \alpha_1, \alpha_2 $ の $ L^1 $ ノルムに対する定量的条件は何か？ それらが解の列の存在を保証するか？

主な発見

• 非線形項 $ f_1, f_2 $ の成長および重み関数 $ \alpha_1, \alpha_2 $ の $ L^1 $ ノルムに依存する特定の区間内に $ \lambda $ が存在するとき、方程式系 (1.1) に対して径対称弱解の無限大列が存在する。
• 関数列 $ (H_{1n}, H_{2n}) $ 沿いに汎関数 $ I_\lambda $ が下に無限大に発散することが示され、臨界点の発散列の存在が示される。
• $ \lambda \in \Lambda' = \left] \Omega, \frac{1}{(p c_1^p \|\alpha_2\|_1 + q c_2^q \|\alpha_1\|_1) A'} \right[ $ の範囲では、$ W^{1,p}(\mathbb{R}^N) \times W^{1,q}(\mathbb{R}^N) $ 内でゼロに弱収束する弱解の列が存在する。
• Palais の原理により、変分法で得られた臨界点が弱解であることが保証される。これは、$ O(N) $-不変な制限された汎関数の臨界点が、全空間における臨界点であることを意味する。
• $ 2 \leq N < p < \infty $ のとき、$ W^{1,p}_r(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow L^\infty(\mathbb{R}^N) $ のコンパクト埋め込みが、収束性および有界性の議論において本質的である。
• 解の列が二通りに分かれる——一つは無限大に発散し、もう一つはゼロに弱収束する——のは、$ f_1, f_2 $ の原点近傍および無限大における相対的成長率に依存し、$ A' $, $ B_1' $, $ B_2' $, および $ \Omega $ の量によって記述される。