[論文レビュー] Weak solutions for Euler systems with non-local interactions

José A. Carrillo, Eduard Feireisl+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 60被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、凸統合を用いて2次元のSavage-Hutter系における無限個の弱解の存在を確立し、エネルギー散逸がない状況での非一意性を示した。一方で、エネルギー不等式を課すことにより弱解と強い解の一致を示し、散乱的解が物理的に妥当であり、初期データによって一意に定まることを示した。

ABSTRACT

We consider several modifications of the Euler system of fluid dynamics, including its pressureless variant driven by non-local interaction repulsive-attractive and alignment forces in the space dimension N = 2, 3. These models arise in the study of self-organization in collective behavior modeling of animals and crowds. We adapt the method of convex integration to show the existence of infinitely many global-in-Time weak solutions for any bounded initial data. Then we consider the class of dissipative solutions satisfying, in addition, the associated global energy balance (inequality).We identify a large set of initial data for which the problem admits infinitely many dissipative weak solutions. Finally, we establish a weak-strong uniqueness principle for the pressure-driven Euler system with non-local interaction terms as well as for the pressurelesssystem with Newtonian interaction.

研究の動機と目的

• 重力駆動型雪崩をモデル化する双曲型系である2次元Savage-Hutter系における弱解の存在と一意性という未解決問題に取り組む。
• 弱解が一意であるかどうか、特に非滑らかで多値な摩擦項が存在する場合にどうなるかを調査する。
• エネルギー散逸が弱解の非一意性を解消し、物理的整合性を回復させられるかを特定する。
• 非局所的で多値な摩擦項および非定数係数を有する系に対しても、凸統合法を拡張する。
• 相対エネルギー法を用いて弱解と強い解の一意性を確立し、散乱的解の物理的意味を保証する。

提案手法

• ショックや特異性のため古典解が存在しない状況を避けるために、任意の有限エネルギー初期データに対して無限個の弱解を構成する凸統合法を適用する。
• 変数係数変換とHelmholtz分解を用いて、Savage-Hutter系を非圧縮性Euler系に類似した形に再定式化する。
• 振動型摂動を用いたサブ解枠組みを用い、弱解を生成する。この際、振動補題（補題2.1）とJensenの不等式に依存する。
• エネルギー不等式（式(3.2)）を選択基準として課し、物理的に不適切な振動解を除外することで、熱力学的整合性を保証する。
• DafermosとVasseurの相対エネルギー法を用いて弱解と強い解の一意性を証明する。散乱的弱解と滑らかな強い解を比較する。
• Gronwallの不等式を用いて誤差項を制御し、相対エネルギーが消えることを示し、弱解と強い解が一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Savage-Hutter系は、有限エネルギー初期データに対し、非一意な弱解を無限個持つことができるか。特に、双曲的かつ非保存的性質を持つにもかかわらず。
• RQ2 多値摩擦項（u/|u|）は弱解の存在を妨げるか。また、凸統合法がこの問題を回避できるか。
• RQ3 エネルギー不等式が弱解クラスにおける一意性を回復させ、物理的に不適切な振動を排除できるか。
• RQ4 相対エネルギー法を非局所的かつ滑らかでない摩擦項を有する系に適応し、弱解と強い解の一意性を証明できるか。
• RQ5 散乱的弱解は初期データによって一意に定まるか。また、古典解が存在する場合には、それらと一致するか。

主な発見

• 2次元Savage-Hutter系の初期値問題は、滑らかで有限エネルギーの初期データに対して、非局所的かつ多値な摩擦項が存在しても、無限個の弱解を許容する。
• 凸統合法は、エネルギーのスカラー関数と運動量の線形関数の積として摩擦項を表現することにより、その非滑らかさに対処し、弱連続性を保証する。
• 凸統合により構成された解は、t=0でエネルギー保存が破れ、全エネルギーにジャンプが生じるため、物理的に不適切である。
• エネルギー不等式（式(3.2)）を課すことにより、このような物理的に不適切な解が除外され、熱力学的整合性が保証される。
• エネルギー不等式を満たす散乱的弱解は、初期データによって一意に定まり、そのような解は、強解が存在する限り、それと一致する。
• 相対エネルギー法によりGronwall型の推定が得られ、相対エネルギーが恒等的に消えることが示され、(0,T)×Ω上でほとんど everywhere で h=H かつ u=U が成り立つ。