[論文レビュー] Weak uniqueness and density estimates for sdes with coefficients depending on some path-functionals

Noufel Frikha, Libo Li|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所時間や累積最大値などの経路関数に依存する係数をもつ1次元SDEに対して、弱的一意性および遷移密度の推定を確立する、新しいパラメトリックスに基づく手法を開発する。バスとパーキンズのアプローチを特異測度へ拡張することで、2つの主要な例において弱的存在性、一意性、および遷移密度のガウス型上界を証明し、特異確率測度に起因する課題を、パラメトリックスカーネルの特徴的な滑らかさ特性によって克服する。

ABSTRACT

In this paper, we develop a general methodology to prove weak uniqueness for stochastic differential equations with coefficients depending on some path-functionals of the process. As an extension of the technique developed by Bass \& Perkins [BP09] in the standard diffusion case, the proposed methodology allows one to deal with processes whose probability laws are singular with respect to the Lebesgue measure. To illustrate our methodology, we prove weak existence and uniqueness in two examples : a diffusion process with coefficients depending on its running symmetric local time and a diffusion process with coefficients depending on its running maximum. In each example, we also prove the existence of the associated transition density and establish some Gaussian upper-estimates.

研究の動機と目的

• 局所時間や累積最大値などの経路関数に依存する係数をもつSDEの弱的一意性を確立すること。
• SDEの係数が( X_t, A_t(X) )の同時分布がLebesgue測度に関して特異である場合に、パラメトリックス技法を拡張すること。
• このようなSDEにおける存在性およびガウス型上界をもつ遷移密度の証明。
• Lebesgue測度ではなくσ-有限な参照測度ν(x, dy)を用いることで、特異測度を扱うフレームワークの構築。
• 具体的な2例における手法の妥当性の検証：原点における対称的局所時間に依存する拡散、および累積最大値に依存する拡散。

提案手法

• バスとパーキンズ [BP09] のパラメトリックス法を、経路関数に依存する係数をもつSDEに適応し、ドリフトおよび拡散係数の凍結近似を用いる。
• Lebesgue測度に関して( X_t, A_t(X) )の分布が特異であっても、滑らかさ特性を保証するように変更されたパラメトリックスカーネルを導入する。
• 生成子の定義域に関連する適切なクラスDに属する関数f(t, X_t, A_t(X))に対して、チェインルール（伊藤の公式）を適用する。
• 空間時間不等式およびヒートカーネル推定H_0(ct, r)を用いて、遷移密度の導関数およびその減衰を制御する。
• パラメトリックスカーネルを含む積分を制御するため、対角領域（D1）と非対角領域（D2）への分解を適用する。
• 補間およびスケーリングの議論を用いて、H_0およびその導関数の境界を用いて遷移密度の導関数推定を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lebesgue測度に関して( X_t, A_t(X) )の分布が特異である場合、経路関数に依存する係数をもつSDEの弱的一意性は確立可能か？
• RQ2 参照測度ν(x, dy)がLebesgue測度と同値でないがσ-有限である場合、パラメトリックス法は依然として有効か？
• RQ3 局所時間または累積最大値が係数に含まれるSDEの遷移密度に対して、ガウス型上界を導出可能か？
• RQ4 特異測度設定において、凍結点が終端点でない場合でも、パラメトリックスカーネルの滑らかさ特性をどのように維持できるか？
• RQ5 局所時間および最大関数係数をもつ場合の遷移密度の正確な導関数推定は何か？

主な発見

• bおよびσが適切な正則性および有界性条件を満たす場合、原点における対称的局所時間に依存するSDEに対して弱的一意性が確立される。
• 累積最大値に依存するSDEに対しては、弱的存在性および一意性が証明され、[For11]の結果が拡張される。
• 遷移密度は存在し、局所時間のケースにおいて、形C t^{-1/2} H_0(ct, |x| + |x_0| + ℓ - ℓ_0) のガウス型上界を満たす。
• 遷移密度の導関数推定が得られる：r = 0,1,2およびβ ∈ [0,1]に対して、|∂_x0^r f_t(x_0,x)| ≤ C t^{-r/2} (|x|^β / t^{β/2} ∧ |x_0|^β / t^{β/2} ∧ 1) H_0(ct, x - x_0)。
• 非対角領域において、ヒートカーネルの積の積分はC t^{-1/2} H_0(ct, |x| + |x_0| + ℓ - ℓ_0)で有界であり、滑らかさ特性が確認される。
• σ-有限な参照測度ν(x, dy)を用いることで、特異測度を効果的に扱い、標準的な拡散フレームワークを超えた経路関数SDEの解析が可能になる。