[論文レビュー] Weakly almost periodic functionals, representations, and operator spaces

Matthew Daws|ArXiv.org|Jan 31, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、弱いほぼ周期的関数型を用いて、反射的作用素空間上の完全有界作用素の閉部分代数に埋め込まれる完全にコンtractiveなバナッハ代数の内在的特徴づけを確立する。Xuの補間技法を適応し、バナッハ代数の古典的結果を作用素空間設定に拡張し、弱いコンパクト因子分解の完全な作用素空間類似形を提供する。

ABSTRACT

A theorem of Davis, Figiel, Johnson and Pełczyński tells us that weakly-compact operators between Banach spaces factor through reflexive Banach spaces. The machinery underlying this result is that of the real interpolation method, which has been adapted to the category of operator spaces by Xu, showing the this factorisation result also holds for completely bounded weakly-compact maps. In this note, we show that Xu's ideas can be adapted to give an intrinsic characterisation of when a completely contractive Banach algebra arises as a closed subalgebra of the algebra of completely bounded operators on a reflexive operator space. This result was shown by Young for Banach algebras, and our characterisation is a direct analogue of Young's, involving weakly almost periodic functionals.

研究の動機と目的

• 反射的バナッハ空間を介して因子分解するバナッハ代数のYoungの特徴づけを、作用素空間枠組みに拡張すること。
• 反射的作用素空間 E に対して、CB(E) の閉部分代数として現れる完全にコンtractiveバナッハ代数の内在的特徴づけを提供すること。
• Xuの実補間法を作用素空間に適応し、完全有界モジュール写像の因子分解結果を確立すること。
• 弱いほぼ周期的関数型が作用素代数の構造、特にフォーリエ代数 A(G) の文脈において果たす役割を明確にすること。
• 作用素空間構造 A(G) が、WAP(A(G)′) と双対バナッハ代数との関係をより深く理解する手がかりを提供できるかを検討すること。

提案手法

• 作用素空間におけるXuの補間法を適応し、完全有界モジュール写像の因子分解結果を導出する。
• 弱いほぼ周期的関数型の概念を、CCバナッハ代数が反射的作用素空間上に表現可能であるかどうかを特徴づける主要な道具として用いる。
• A(G) と VN(G) の双対性を適用し、A(G) が自然な作用素空間構造を備えることを示し、作用素空間技法の適用を可能にする。
• 標準的埋め込み κ_E: E → E'' を用いて、κ_E(E) が A'' における部分双加群となる条件を同定し、乗法のそれぞれの弱*連続性を保証する。
• CCバナッハ代数 A が双対バナッハ代数であることと、κ_E(E) が A'' 内の A-双加群であることとは同値であるという事実を活用する。
• CB(A ⊗^h A, A) ≅ CB(A, CB(A)) の同型を用い、乗法写像を CB(A) への完全にコンtractiveな準同型として再定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全にコンtractiveバナッハ代数 A が、ある反射的作用素空間 E に対して CB(E) の閉部分代数に等長同型であるための条件は何か？
• RQ2 CCバナッハ代数の双対における弱いほぼ周期的関数型は、完全有界写像が反射的作用素空間を介して因子分解可能であることにどのように関係するか？
• RQ3 A(G) における作用素空間構造を用いて、G の群構造を反映する形で WAP(A(G)′) を特徴づけられるか？
• RQ4 完全有界性に類似した「完全な弱コンパクト性」の概念が、完全有界写像に対して存在するか？
• RQ5 バナッハ代数上の最大量子化は、反射的作用素空間上への表現可能性の性質を保つのか？

主な発見

• 完全にコンtractiveバナッハ代数 A が、ある反射的作用素空間 E に対して CB(E) の閉部分代数に完全に等長同型であるための必要十分条件は、A の双対に十分な数の弱いほぼ周期的関数型が存在することである。
• この結果は、Youngが反射的バナッハ空間を介して因子分解するバナッハ代数を特徴づけた古典的結果の完全な作用素空間類似形を提供する。
• κ_E(E) が A'' の部分双加群となるのは、A が双対バナッハ代数であるときであり、これは乗法がそれぞれの弱*連続性を有することと同値である。
• フォーリエ代数 A(G) に対して、作用素空間構造により A(G) が WAP(A(G)′)′ に完全に等長埋め込み可能であり、この埋め込みは作用素空間構造と整合的である。
• この結果により、局所コンパクト群 G における測度代数 M(G) が最大作用素空間構造を備え、ある反射的 E に対して CB(E) に完全に等長埋め込み可能であることが示される。
• 本論文は、A(G) の作用素空間構造が VN(G) との双対性を捉えるために不可欠であり、L₁(G) や B(G) における最大量子化が、反射的作用素空間を介した因子分解を保つことを確認する。