[論文レビュー] Weakly group-theoretical and solvable fusion categories

Pavel Etingof, Dmitri Nikshych+1 more|ArXiv.org|Sep 17, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、複素数体ℂ上での弱群的および可解な融合カテゴリを導入し、研究する。すべての弱群的カテゴリが強フロベニウス性を満たすことを確立している。これは、モジュールカテゴリ内の任意の単純対象のフロベニウス・ペルロの次元に対するカテゴリ全体のフロベニウス・ペルロの次元の比が代数的整数であることを意味する。さらに、次元が$p^r q^s$である融合カテゴリが可解であることを証明しており、カプランスキーの第6予想を一般化するとともに、ホップ代数およびモジュラーカテゴリに関する既知の結果を拡張している。

ABSTRACT

We introduce two new classes of fusion categories which are obtained by a certain procedure from finite groups - weakly group-theoretical categories and solvable categories. These are fusion categories that are Morita equivalent to iterated extensions (in the world of fusion categories) of arbitrary, respectively solvable finite groups. Weakly group-theoretical categories have integer dimension, and all known fusion categories of integer dimension are weakly group theoretical. Our main results are that a weakly group-theoretical category C has the strong Frobenius property (i.e., the dimension of any simple object in an indecomposable C-module category divides the dimension of C), and that any fusion category whose dimension has at most two prime divisors is solvable (a categorical analog of Burnside's theorem for finite groups). This has powerful applications to classification of fusion categories and semsisimple Hopf algebras of a given dimension. In particular, we show that any fusion category of integer dimension <84 is weakly group-theoretical (i.e. comes from finite group theory), and give a full classification of semisimple Hopf algebras of dimensions pqr and pq^2, where p,q,r are distinct primes.

研究の動機と目的

• 群的および冪零カテゴリの一般化として、弱群的および可解な融合カテゴリを定義し、特徴づけること。
• 与えられたカテゴリの群拡張に同値な融合カテゴリについて、そのドリンフェルト中心を用いたモラータ同値性の基準を確立すること。
• すべての弱群的融合カテゴリが強フロベニウス性を満たすことを証明し、カプランスキーの第6予想を拡張すること。
• 次元が$p^r q^s$（$p,q$ は素数）である融合カテゴリが可解であることを示し、小次元ホップ代数に関する既知の結果を一般化すること。
• 特に$pqr$および$pq^2$次元の、素数のべきおよび合成数次元の融合カテゴリおよび半単純ホップ代数の構造的洞察を提供すること。

提案手法

• モラータ同値性およびドリンフェルト中心理論を用いて、融合カテゴリを群拡張と関連づけ、$\mathcal{C}$ が$\mathcal{D}$の$G$-拡張にモラータ同値であるための必要十分条件として、$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ が$\mathrm{Rep}(G)$というティアナキアン部分カテゴリをもち、その脱等配分化が$\mathcal{Z}(\mathcal{D})$ をブラケット的カテゴリとして与えることを利用している。
• 脱等配分化および等配分化の構成を用いて、素数位数の巡回群を経由して$\mathrm{Vec}$から融合カテゴリの系列を構築している。
• ミューゲル中心化子およびブラケット的カテゴリの技術を用いて、対称的部分カテゴリを分析し、中心内に非自明なティアナキアン部分カテゴリを検出している。
• フロベニウス・ペルロの次元および代数的整数の性質を活用し、弱群的カテゴリにおける強フロベニウス性を証明している。
• 特に、中心内の2次元および4次元単純対象のケースにおいて、帰納法および次元数え上げの議論を用いてティアナキアン部分カテゴリの存在を示している。
• ブルギエールズおよびミューゲルによるモジュラー化の結果を応用し、問題を小次元カテゴリに関する既知の分類定理に還元している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の融合カテゴリは強フロベニウス性を満たすか？
• RQ2 すべての弱整数的融合カテゴリは弱群的であるか？
• RQ3 すべての次元が$p^r q^s$である融合カテゴリは可解か？
• RQ4 中心にティアナキアン部分カテゴリ$\mathrm{Rep}(G)$をもち、その脱等配分化が基本カテゴリの中心に同値である場合、融合カテゴリは$G$-拡張にモラータ同値であるか？
• RQ5 次元が$pqr$または$pq^2$である融合カテゴリはどのような構造的性質を持ち、群的であるか？

主な発見

• 融合カテゴリ$\mathcal{C}$ が弱群的であるための必要十分条件は、$\mathcal{C}$ が冪零な融合カテゴリにモラータ同値であることであり、その後の結果として、このようなカテゴリは点付きカテゴリの群拡張にモラータ同値であることが示された。
• 融合カテゴリ$\mathcal{C}$ が$\mathcal{D}$の$G$-拡張にモラータ同値であるための必要十分条件は、$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ が$\mathrm{Rep}(G)$というティアナキアン部分カテゴリをもち、その$\mathrm{Rep}(G)$の中心化の脱等配分化がブラケット的カテゴリとして$\mathcal{Z}(\mathcal{D})$ に同値であることである。
• 任意の弱群的融合カテゴリは強フロベニウス性を満たす。すなわち、任意の非分解可能$\mathcal{C}$-モジュールカテゴリ$\mathcal{M}$および$\mathcal{M}$内の単純対象$X$に対して、比$\mathrm{FPdim}(\mathcal{C}) / \mathrm{FPdim}(X)$は代数的整数である。
• 次元が$p^r q^s$（$p,q$ は素数、$r,s \geq 0$）であるすべての融合カテゴリは可解であり、$pq$および$p^r$次元に関する既知の結果を一般化している。
• 非点付きの単純な弱群的融合カテゴリは、有限非アーベル単純群$G$の$\mathrm{Rep}(G)$に同値であり、次元60の任意の融合カテゴリは弱群的である（したがって、単純であれば$\mathrm{Rep}(A_5)$に同値である）。
• 次元が$pqr$（相異なる素数）であるすべての融合カテゴリ、および次元が$pqr$または$pq^2$であるすべての半単純ホップ代数は群的であり、このようなホップ代数は本稿で開発された枠組みを用いて分類されている。