[論文レビュー] Weakly holomorphic modular forms in prime power levels of genus zero

Paul A. Jenkins, DJ Thornton|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、レベル $ N \in \{8, 9, 16, 25\} $ の重さ 0 の弱正則モジュラー形式の正規基底を構成し、これらの基底要素のフーリエ係数がレベルの素数の高べき乗を法として合同であることを証明する。これはグリフィンのレベル 1 の合同関係結果をレベル 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 16, 25 に拡張し、これらの形式に対してザジエール双対性および生成関数の性質を確立する。

ABSTRACT

Let $M_k^\sharp(N)$ be the space of weight $k$, level $N$ weakly holomorphic modular forms with poles only at the cusp at $\infty$. We explicitly construct a canonical basis for $M_k^\sharp(N)$ for $N\in\{8,9,16,25\}$, and show that many of the Fourier coefficients of the basis elements in $M_0^\sharp(N)$ are divisible by high powers of the prime dividing the level $N$. Additionally, we show that these basis elements satisfy a Zagier duality property, and extend Griffin's results on congruences in level 1 to levels 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 16, and 25.

研究の動機と目的

• 重さ 0 の弱正則モジュラー形式の空間 $ M_0^{ atural}(N) $ に対して、$ N \in \{8, 9, 16, 25\} $ の素数べきレベルで、$ \Gamma_0(N) $ が genus 0 を持つ場合に、正規基底を明示的に構成すること。
• これらの基底要素のフーリエ係数 $ a_0^{(N)}(m,n) $ が、$ N $ を割る素数の高べき乗を法として割り切られることを証明し、レーナーおよびグリフィン型の合同関係を新たなレベルに拡張すること。
• これらの形式のフーリエ係数に対してザジエール双対性を確立し、低レベルで知られている双対性結果を一般化すること。
• グリフィンのレベル 1 のモジュラー形式の合同関係結果を、レベル 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 16, 25 に拡張すること。$ \alpha > \beta $ および $ \alpha < \beta $ の両ケースを含む。

提案手法

• フーリエ展開が $ q^{-m} + \sum_{n > n_0} a_0^{(N)}(m,n)q^n $ であるような、$ M_0^{ atural}(N) $ に属する唯一の形式 $ f_{0,m}^{(N)}(z) $ を、$ q^{-m} $ 項の後のギャップを最大にするように定義する。
• $ V_p $ および $ U_p $ 演算子を用いて、レベル $ N $ の形式をレベル $ p $ の形式と関連づけ、特に $ V_2(f_{0,m}^{(4)}) = f_{0,2m}^{(8)} $ および $ N=9,16,25 $ に対して同様の恒等式を示す。
• モジュラー関数 $ \psi^{(p)}(z) = \left( \frac{\eta(z)}{\eta(pz)} \right)^{24/(p-1)} $ 及びその逆関数 $ \phi^{(p)}(z) $ を用いて、$ j $-関数を $ \psi^{(p)} $ および $ \phi^{(p)} $ の項で表現し、異なるレベル間での合同関係の比較を可能にする。
• $ f_{0,m}^{(1)}(z) $ を $ j(z) $ の多項式として表現し、$ \psi^{(p)}(z) $ および $ \phi^{(p)}(z) $ での展開を通じて $ f_{0,m}^{(p)}(z) $ と関連づけ、その差が $ p $ の高べき乗で割り切られることを示す。
• レベル $ p $ での既知の合同関係に $ V_p $ 演算子を適用して、$ p^k $ レベルにまでそれを拡張する。$ V_p $ がモジュラー性を保ち、フーリエ係数の構造を尊重することを用いる。
• $ j(z) $ を $ \psi^{(p)} $ および $ \phi^{(p)} $ の項で展開することから導かれる、特定の $ c $ に対して $ f_{0,m}^{(1)}(z) \equiv f_{0,m}^{(p)}(z) \pmod{p^c} $ という恒等式を用い、レベル 1 からレベル $ p $ への合同関係の転送を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベル $ N \in \{8, 9, 16, 25\} $ の $ M_0^{ atural}(N) $ の正規基底要素のフーリエ係数は、$ N $ を割る素数の高べき乗を法として合同であるか。これはレベル 1 や低レベルでの結果に類似しているか？
• RQ2 これらの素数べきレベルにおける $ M_0^{ atural}(N) $ の正規基底のフーリエ係数の間に、ザジエール双対性が存在するか？
• RQ3 グリフィンのレベル 1 のモジュラー形式の合同関係結果は、レベル 8, 9, 16, 25 に拡張可能か。もしそうなら、正確な法は何か？
• RQ4 $ V_p $ および $ U_p $ 演算子は、レベル $ N = p^k $ の正規基底要素にどのように作用するか。また、異なるレベル間の形式を関連付けるために使用可能か？
• RQ5 これらのレベルにおける $ j $-関数とモジュラー関数 $ \psi^{(p)}(z) $、$ \phi^{(p)}(z) $ の正確な関係は何か。この関係は係数の合同関係をどのように可能にするか？

主な発見

• レベル $ N = 8 $ に対して、フーリエ係数 $ a_0^{(8)}(2^\alpha m', 2^\beta n') $ は、$ \beta > \alpha $ のとき $ a_0^{(8)}(2^\alpha m', 2^\beta n') \equiv 0 \pmod{2^{3(\beta - \alpha) + 8}} $ を満たし、$ \alpha > \beta $ のとき $ \equiv 0 \pmod{2^{4(\alpha - \beta) + 8}} $ を満たす。
• レベル $ N = 9 $ に対して、$ a_0^{(9)}(3^\alpha m', 3^\beta n') \equiv 0 \pmod{3^{3(\alpha - \beta) + 3}} $ が $ \alpha > \beta $ のとき成り立ち、$ \beta > \alpha $ のとき $ \equiv 0 \pmod{3^{2(\beta - \alpha) + 3}} $ である。
• レベル $ N = 16 $ に対して、$ a_0^{(16)}(2^\alpha m', 2^\beta n') \equiv 0 \pmod{2^{4(\alpha - \beta) + 8}} $ が $ \alpha > \beta $ のとき成り立ち、$ \beta > \alpha $ のとき $ \equiv 0 \pmod{2^{3(\beta - \alpha) + 8}} $ である。
• レベル $ N = 25 $ に対して、$ a_0^{(25)}(5^\alpha m', 5^\beta n') \equiv 0 \pmod{5^{2(\alpha - \beta) + 1}} $ が $ \alpha > \beta $ のとき成り立ち、$ \beta > \alpha $ のとき $ \equiv 0 \pmod{5^{(\beta - \alpha) + 1}} $ である。
• 正規基底要素はザジエール双対性を満たす：$ f_{0,m}^{(N)} $ の $ q^n $ の係数は、$ f_{0,n}^{(N)} $ の係数と符号および次数の関係で双対的である。
• $ f_{0,m}^{(1)}(z) $, $ f_{0,m}^{(2)}(z) $, $ f_{0,m}^{(3)}(z) $, $ f_{0,m}^{(5)}(z) $, $ f_{0,m}^{(7)}(z) $ はそれぞれ $ 2^{16} $, $ 3^9 $, $ 5^5 $, $ 7^4 $ を法として合同であり、これによりレベル間での合同関係の転送が可能である。