[論文レビュー] Weakly regular T2 symmetric spacetimes. The global geometry of future developments

Philippe G. LeFloch, Jacques Smulevici|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$T^2$-対称な時空における真空中のアインシュタイン方程式のグローバルな適切性を、弱い正則性仮定のもとで確立する。幾何的枠組みを導入することで、将来の発展における存在、一意性、安定性を保証する。面積関数 $R$ が無限大に発散し、$R =$ 定数の超曲面によるグローバルなファイブレーションを持つことが証明され、微分可能性の要件が最小限であっても、メトリック係数が最適な $L^p$ およびソボレフ型正則性バインディングを満たすことが示される。

ABSTRACT

Under weak regularity assumptions, only, we develop a fully geometric theory of vacuum Einstein spacetimes with T2 symmetry, establish the global well-posedness of the initial value problem for Einstein's field equations, and investigate the global causal structure of the constructed spacetimes. Our weak regularity assumptions are the minimal ones allowing to give a meaning to the Einstein equations under the assumed symmetry and to solve the initial value problem. First of all, we introduce a frame adapted to the symmetry in which each Christoffel symbol can be checked to belong to some Lp space. We identify certain cancellation properties taking place in the expression of the Riemann and Ricci curvatures, and this leads us to a reformulation of the initial value problem for the Einstein field equations when the initial data set has weak regularity. Second, we investigate the future development of a weakly regular initial data set. We check that the area R of the orbits of symmetry must grow to infinity in the future timelike directions, and we establish the existence of a global foliation by the level sets of R. Our weak regularity assumptions only require that R is Lipschitz continuous while the metric coefficients describing the initial geometry of the orbits of symmetry are in the Sobolev space H1 and the remaining coefficients have even weaker regularity. We develop here the compactness arguments required to cover the natural level of regularity associated with the energy of the system of partial differential equations determined from Einstein's field equations.

研究の動機と目的

• 弱い正則性を仮定した $T^2$-対称な真空中のアインシュタイン時空に対する完全に幾何的で、弱く正則な適切性理論を構築すること。
• アインシュタイン方程式が意味を持ち、解けるための最小限の正則性条件を同定すること。
• 弱い正則性を有する初期データセットの将来の発展における、グローバルな因果的および幾何的構造を確立すること。
• 面積関数 $R$ の等値面によるグローバルなファイブレーションの存在を証明すること。$R$ は未来の時的方向に無限大に発散する。
• 弱い正則性のもとで安定性と一意性を保証するコンパクト性および事前推定を導出すること。

提案手法

• 対称性群に適合したフレームを用いて、$T^2$-対称性下でのアインシュタイン方程式の幾何的で座標に依存しない定式化を採用する。
• リーマン曲率およびリッチ曲率におけるキャンセル構造を同定し、弱い正則性下での初期値問題を再定式化する。
• 面積座標を用いて時空をパラメトライズし、メトリック成分 $U, A, \nu, a, G, H$ の発展方程式を導出する。ここで $R$ を時間変数とする。
• エネルギー推定と部分積分を用いて、すべてのメトリック成分、$a$ 及びその微分係数について $L^p$ およびソボレフ型バインディングを確立する。
• 面積関数 $R$ がリプシッツ連続であり、すべての未来指向時的曲線に沿って無限大に発散することを証明し、グローバルなファイブレーションを可能にする。
• 初期データの低正則性に対処するため、弱収束および一様 $L^1$ 推定に基づく、新規のコンパクト性議論を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性下でのアインシュタイン方程式の意味的定式化が可能となるために、初期データに必要な最小限の正則性は何か？
• RQ2 弱い正則性を有する $T^2$-対称な初期データセットの将来発展は、面積 $R$ が一定の超曲面によるグローバルなファイブレーションを持つだろうか？
• RQ3 初期メトリック係数に $H^1$-正則性しか与えられない弱い正則性のもとで、アインシュタイン方程式のグローバル存在、一意性、安定性を確立できるか？
• RQ4 面積関数 $R$ は未来においてどのように漸近的に振る舞い、無限大に発散するだろうか？
• RQ5 弱い正則性仮定のもとで、メトリック成分およびその微分係数に対する最適な $L^p$ およびソボレフ型推定は何か？

主な発見

• 面積関数 $R$ はリプシッツ連続であり、すべての未来指向時的曲線に沿って無限大に発散する。これによりグローバルな双曲的性が保証される。
• 将来発展全体にわたり、超曲面 $R = \text{const}$ によるグローバルなファイブレーションが存在する。
• メトリック係数 $U, A$ は $C^0_R(H^1_\theta(S^1)) \cap C^1_R(L^2_\theta(S^1))$ に属し、$\eta$ は $C^0_R(W^{1,1}_\theta(S^1)) \cap C^1_R(L^1_\theta(S^1))$ に属する。これは最適な正則性を示している。
• 係数 $a$ 及びその逆数は $a, a^{-1} \in C^0_R(W^{2,1}_\theta(S^1)) \cap C^1_R(W^{1,1}_\theta(S^1))$ に属し、2階微分係数に一様 $L^1$ バインディングが得られる。
• 混合微分 $a_{R\theta}$ はエネルギー密度 $E$ によって点ごとの制御が可能であり、$|a_\theta| \leq C^*$ が一様に成立する。
• 高階微分係数 $a_{RR}, a_{R\theta}, a_{\theta\theta}$ はすべて $L^1$ ノルムで一様に有界であり、解構造の頑健性が確認される。