[論文レビュー] Weakly reversible mass-action systems with infinitely many positive steady states

Balázs Boros, Gheorghe Crăciun+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2019

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、弱可逆および可逆な質量作用型系が、不変多面体内に連続的な正の定常状態を有することが示され、長年にわたり広く信じられてきた『弱可逆な質量作用型系は各不変多面体内で有限個の正の定常状態しか持たない』という信念に挑戦する。著者らは、多項式右辺が共通因数を持つ反応ネットワークを設計することで、このような系を構築し、定常状態の代数的曲線を生じさせる。2次元およびそれ以上の次元における明示例により、有界な不変多面体内に無限個の正の定常状態が存在することが示された。

ABSTRACT

We show that weakly reversible mass-action systems can have a continuum of positive steady states, coming from the zeroes of a multivariate polynomial. Moreover, the same is true of systems whose underlying reaction network is reversible and has a single connected component. In our construction, we relate operations on the reaction network to the multivariate polynomial occurring as a common factor in the system of differential equations.

研究の動機と目的

• 弱可逆な質量作用型系が各不変多面体内で有限個の正の定常状態しか持たないという広く信じられている信念に挑戦すること。
• 弱可逆および可逆な質量作用型系において、連続的な正の定常状態を有する明示的例を構築すること。
• このような無限定常状態集合が生じるための構造的・代数的条件（特に共通多項式因数の存在）を同定すること。
• このような振る舞いを示すために必要な最小のネットワーク的性質（頂点数、反応数、欠陥数など）を同定すること。
• 高次元において、共通因数の存在が無限正の定常状態を生じるための必要条件かどうかを検討すること。

提案手法

• 反応ネットワークに対して、平行移動、スカラー倍、加算の3つの基本操作を用いて、単純な系から複雑な系を体系的に構築する。
• ネットワークをベクトルで平行移動することは、系の右辺に単項式を乗じることに相当し、微分方程式の構造を保存する。
• 速度定数のスカラー倍は、全体を定数倍するにあたり、定常状態方程式の形を保存する。
• ネットワークの加算は、それぞれの微分方程式を組み合わせることに相当し、共通する多項式因数を持つ系の構築を可能にする。
• ベクトル場の式が共通する多変数多項式因数を持つようにネットワークを設計し、その正の実数解が連続的な定常状態を形成する。
• 結果として得られる系のダイナミクスは、この共通因数によって支配され、有界な不変多面体内で正の定常状態の曲線が形成されることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱可逆な質量作用型系は、1つの不変多面体内に無限個の正の定常状態を有することができるか？
• RQ2 高次元系において、このような無限定常状態集合が生じるためには、微分方程式の右辺に共通多項式因数が存在する必要があるか？
• RQ3 弱可逆系が無限個の正の定常状態を示すために必要な最小の頂点数、反応数、または欠陥数は何か？
• RQ4 弱可逆ネットワークは、パrameter空間において正の測度を持つ領域に対して、無限個の正の定常状態を有することができるか？
• RQ5 スパarsity（疎らかさ）、低欠陥数などの構造的・トポロジカルな制約（例えば）が、弱可逆系における正の定常状態の有限性を保証するか？

主な発見

• 本稿では、図1に示すように、可逆な質量作用型系が無限個の正の定常状態を有することを構築した。この系では、微分方程式の右辺に共通因数 (1 − xy + y − x) が存在し、その正の実数解が定常状態に対応する。
• 例4.2では、次数4の共通因数を有し、その正の定常状態は正の第1象限に曲線として形成され、図8に可視化されている。
• 例4.3では、次数4の多項式因数（x² + xy² + y − 4xy）を有し、連続的な正の定常状態が生じる。この系は9頂点、12反応、欠陥数4を有する。
• 著者らは、例4.3のように欠陥数が4の低欠陥系でも、このような無限定常状態集合が可能であることを示した。この構成法は高次元へ一般化可能である。
• 3次元以上では、共通因数の存在が無限正の定常状態を生じるための必要条件ではないことが示され、代替の代数的メカニズムが存在する可能性がある。
• 本稿では、永続性予想（Permanence Conjecture）が定常状態の有限性を示唆するものではないことを証明した。無限集合は有界な不変多面体内に存在するが、退化している。